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約数について。

次の問題のURLで、m とn の公約数の個数は、mとnの最大公約数の約数の個数と一致する。というのがわかりません。教えていただけないでしょうか？すみません。 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10121221575?__ysp=eWFob28g55%2Bl5oG16KKLIGEsYixjLGTjga%2Foh6rnhLbmlbA%3D

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  • muturajcp
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回答No.2

訂正です A={k;kはmとnの公約数} B={k;kはmとnの最大公約数の約数} とする k∈B mとnの最大公約数をd とすると m=xd n=yd となる整数x,yがある kはmとnの最大公約数dの約数だから d=jk となる整数jがある m=xd=xjk n=yd=yjk だから kはmとnの公約数となるから k∈A 「k∈B→k∈A」が成り立つから ∴ B⊂A 逆に k∈A とすると kはmとnの公約数 mとnの最大公約数をd≧k とする dとkの最小公倍数をLとすると mはdとkの公倍数だから mはdとkの最小公倍数Lの倍数だから Lはmの約数 nはdとkの公倍数だから nはdとkの最小公倍数Lの倍数だから Lはnの約数 Lはmとnの公約数だから d≧L Lはdの倍数だから L≧d d=L d=Lはkの倍数だから kはdの約数 mとnの公約数kはmとnの最大公約数dの約数となるから k∈B 「k∈A→k∈B」が成り立つから ∴ A⊂B 「(B⊂A)&(A⊂B)」が成り立つから ∴ A=B ∴ (mとnの公約数)=(mとnの最大公約数の約数)

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  • muturajcp
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回答No.1

A={k;kはmとnの公約数} B={k;kはmとnの最大公約数の約数} とする k∈B mとnの最大公約数をd とすると m=xd n=yd となる整数x,yがある kはmとnの最大公約数dの約数だから d=jk となる整数jがある m=xd=xjk n=yd=yjk だから kはmとnの公約数となるから k∈A 「k∈B→k∈A」が成り立つから ∴ B⊂A 逆に k∈A とすると kはmとnの公約数 m=ak n=bk となる整数a,bがある mとnの最大公約数をd≧k とする m=xd n=yd となる互いに素な整数x,yがある dをkで割った商をj、余りを　r　とすると(0≦r<k) d=kj+r m=x(kj+r)=xkj+xr=ak n=y(kj+r)=ykj+yr=bk xr=(a-xj)k yr=(b-yj)k 0<rと仮定すると 0<r<kだから kの素因数pでxの素因数でrの素因数でないものがある pはrの素因数でないからyの素因数となるから pはxとyの共通素因数(公約数)となり x,yが互いに素である事に矛盾するから r=0 となるから d=kj となり mとnの公約数kはmとnの最大公約数dの約数となるから k∈B 「k∈A→k∈B」が成り立つから ∴ A⊂B 「(B⊂A)&(A⊂B)」が成り立つから ∴ A=B ∴ (mとnの公約数)=(mとnの最大公約数の約数)

zasx1098
質問者

補足

すみません。kの素因数pでxの素因数でrの素因数でないものがある。pはr の素因数でないからyの素因数となるからpはxとyの共通素因数（公約数)となるからというところがわかりません。教えていただけないでしょうか？すみません。

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