無限級数の和について（黄チャートIIIのEX92）

質問

いつもお世話になっております。
黄チャートにある問題についてですが、初項と（第２項以降が収束条件を満たす無限等比級数）からなる無限級数の和を求める際に、第２項以降をかっこでくくって、その部分が収束するのでその和と初項の足し算の和を与えられた無限級数の和としております。

ここで、気になっているのが、収束する無限級数なのでかっこでくくってよいとのことなのでしょうが、残り（a1）が定数の場合にはこのようにして良いのでしょうか。
（教科書には、収束する無限級数同士であれば、分割可能としておりますが、定数も収束しているからということなのでしょうか）。

a1が定数、a2+a3+・・・+an+・・・が収束する無限等比級数で、
　a1+a2+a3+・・・+an+・・・=a1+(a2+a3+・・・+an+・・・)

宜しくお願い致します。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

そもそも a(1) + a(2) + a(3) + ..... というのは、 A(n) = Σ[1≦k≦n] a(k)として数列 A(n)を定義した時の極限 X = lim[n→∞] A(n)の事（という定義）でした。

※ここで、高校では「極限」自体の「厳密な」定義は出てこないので、以下一部ふわっとした議論しか出来ない点がありますが、取り敢えず進めます。

同様に、a(2) + a(3) + a(4) + .... というのは、B(n) = Σ[1≦k≦n] a(k+1) [ = a(2) + a(3) + .... + a(n+1)] として数列 B(n)を定義した時の極限 Y = lim[n→∞] B(n)の事でした。
ここで、lim[n→∞] A(n) = lim[n→∞] A(n+1) が成り立つのはよいと思います。所で、A(n+1) - B(n) = a(1) ですから、lim[n→∞] {A(n+1) - B(n)} = lim[n→∞] a(1) = a(1) 。一方 lim[n→∞] {A(n+1) - B(n)} = lim[n→∞] A(n+1) - lim[n→∞] B(n) = X-Y ですから、結局 X - Y = a(1)。

従って、a(1) + Y = Xとなって、結局 a(1) + a(2) + a(3) + .... = a(1) + ( a(2) + a(3) + a(4) + .... ) となります。

お礼

tmpname様

ご回答頂きありがとうございます。
大変参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

tmpname

正確には、
A(n+1) - B(n) = a(1) で、lim[n→∞] B(n)は収束するから、 lim [n→∞] A(n+1) = lim [n→∞] (B(n) + a(1)) = lim [n→∞] B(n) + lim[n→∞] a(1) もやはり収束して、その値は Y+a(1)となるから、 X=Y + a(1)となる。

と書くべきでした。

お礼

tmpname様

ご回答頂きありがとうございます。
大変参考になりました。
ありがとうございました。