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定積分と不等式
級数が発散するか調べる箇所で、2つの定積分と不等式がわからないので質問します。 例1 1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n・・・=∞であるなぜなら、 1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n>∫(1→n)(1/x)dx=logen・・・(1)であり、lim(n→∞)logen=∞であるから。 自分の考えた(1)の証明は、自然数kに対して、k≦x≦k+1とすると、1/(k+1)<1/x<1/k ∫(k→k+1){1/(k+1)}dx<∫(k→k+1){1/x}dx<∫(k→k+1){1/k}dx、 1/(k+1)<∫(k→k+1){1/x}dx<1/kより、 Σ(k=1→k=n-1)∫(k→k+1){1/x}dx<Σ(k=1→k=n-1)(1/k)、 ∫(1→n)(1/x)dx<1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/(n-1)と最後の項が1/nになりません。 どなたか1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n>∫(1→n)(1/x)dxを証明してください。 例2 1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・+1/n^2・・・(2)は収束する。なぜなら、いつでも1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・+1/n^2<1+∫(1→n)(1/x^2)dx・・・(3)であり、 ∫(1→n)(1/x^2)dx=1-1/n<1だから(2)は２を越えない。自分の考えた(3)の証明ですが、自然数kに対して、k≦x≦k+1とすると、k^2≦x^2≦(ｋ+1)^2、 1/(k+1)^2<1/x^2<1/k^2 ∫(k→k+1){1/(k+1)^2}dx<∫(k→k+1){1/x^2}dx<∫(k→k+1){1/k^2}dx、 1/(k+1)^2<∫(k→k+1){1/x^2}dx<1/k^2より、 Σ(k=1→k=n-1){1/(k+1)^2}<Σ(k=1→k=n-1)∫(k→k+1){1/x^2}dx 1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・+1/n^2<∫(1→n)(1/x^2)dxの両辺に1を加えるでよいでしょうか？間違っていたら訂正お願いします。
- situmonn9876
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- f272
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(1) どうして 1/(k+1)<∫(k→k+1){1/x}dx<1/kより、 Σ(k=1→k=n-1)∫(k→k+1){1/x}dx<Σ(k=1→k=n-1)(1/k)、 とするのかなあ？ k=1からk=nまで足せばいいのではないですか？そうすると ∫(1→n+1){1/x}dx<1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n log(n+1)<1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n になる。左辺でn→∞とすると∞に発散するので右辺も∞に発散する。 どうしても log(n)<1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n にしたいのであればlog(n)<log(n+1)を使えばよい。 (2) > 1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・+1/n^2<∫(1→n)(1/x^2)dxの両辺に1を加えるでよいでしょうか？ それでもいいけど，最初からk=0からk=n-1まで足せば自然に1を足したことになる。
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お礼
加える範囲の指定の工夫や、log(n)<log(n+1)などのわかりやすい不等式の利用をする、アドバイスありがとうございます。