1=0.99999・・・について「改」

質問

前回、質問文を間違えましたので、再度、質問いたします
回答をお送りしてくださった方がたにお詫び申し上げます。

1=0.99999・・・だそうです。腑に落ちませんがｗ
分子＝分母＝（1ー0.99999・・・）は１だそうです。定義らしいです。
定義なら、「この式が成り立つなら分母は０じゃない、すなわち、1=0.99999・・・じゃない」と疑問をもってもしかたありません。
この定義について解説してる書籍を紹介してください。
工業高校レベルで理解できればうれしいですが、そうはいかないでしょうね
（先生が言ってましたｗｗｗ）

回答No.12

asuncion

＞分子＝分母なら値は１というなら０/０も１になりませんか？
だから別回答で0は除いてくださいと書いたのに、読んでないんですか？
0割りは数学上できません。

お礼

再度の回答にお礼申し上げます
ですから、疑問は、なぜ、0/0にならないのかということです
hがかぎりなく1に近づくことが可能な数であるとき、1-hが0になるのに
(1-h)/(1-h)が無意味ではなく1になる理由がわかりません。0/0となって無意味ではないのですか？

回答No.11

kiha181-tubasa

「0.9999999……」は「0.999……9」と有限桁で終わっているのではないのです。小数点以下無限に続いているのです。有限桁の「0.999……9」なら明らかに「１＞0.999……9」ですけどね。

高校では，『無限級数』で学習します。
0.999999……
＝0.9+0.09+0.009+0.0009+……
＝9/10+9/10*(1/10)+9/10*(1/10)^2+9/10*(1/10)^3+……
（＝lim(n→∞)9/10*(1-(1/10)^n)/(1-1/10)）
＝(9/10)/(1-1/10)　(無限級数の公式なら上の行は省いて直接ここ)
＝(9/10)/(9/10)
＝１
となります。

中学生向きに「ふーん」と言わせるのなら若干傷がありますが
0.99999……
＝0.333333……＊3
＝(1/3)*3　　　　（1/3＝0.3333……ですよね）
＝１
と遊ぶことができます。

お礼

回答ありがとうございます
1=0.9999.....であるというなら、ハイそうですか、と言うだけです。
hが1に限りなく近づくことが可能なときh=1=0.9999.....で1-h=0
これも、ハイそうですか、です。
hが1に限りなく近づくことが可能なとき（数学的表現ではlimの下に小さくh→１と書いて、limの隣にhとかきます。hをカッコで囲むこともあります）なぜ(1-h)/(1-h)が0/0にならずに1となるのですか・

回答No.10

f272

#4です。
> lim(h→1)のとき(1-h)/(1-h)=1と習いましたし理解しているつもりですが
> lim(h→1)=0.999999・・・・は一般的ではないということですか？

一般的な数学の言葉では理解できない書き方なので，言いたいことを推測するしかないのだが，
lim(h→1)((1-h)/(1-h))=1=0.999999・・・・は正しい。
しかしlim(h→1)(1-h)/lim(h→1)(1-h)=1は正しくない。なぜなら左辺が定義されないから。
それから lim(h→1)(0.999999・・・・)=1である。

> 0.99999・・・・と無限につづくなら1に収束する
> これを「1=0.99999・・・」と等号をつかって表記するのは、小中高とならってきた等号とは等号の意味が違うということでしょうか。

「0.99999・・・・と無限につづくなら1に収束する」というのは，おかしな言い方です。1に収束するのではなく1に等しいいのです。収束するという言葉を使うのであれば数列0.9，0.99，0.999，0.9999，...が収束するのであって，0.99999・・・・というのは1つの数値です。数列ではありません。そして0.99999・・・・は数列0.9，0.99，0.999，0.9999，...の収束先(極限値)です。
等号の意味は何も変わっていませんよ。

> 次の疑問は1≠0.9999....とするとどのような不都合が生じるか、ということです。

それを認めると矛盾が成立するということですから，どんな命題も正しいことになります。

お礼

回答ありがとうございます

hが1に限りなく近づくことが可能な数であるとき
1-h=0は成り立つと習いました
h=0.9999.....と表記することは正しいと習いました
この前提で
hが1に限りなく近づくことが可能な数であるとき(1-h)/(1-h)はなぜ
0/0にならずに1になり、(1-0.9999.....)/(-0.9999.....)は無意味になるのですか？

回答No.9

asuncion

p.s.
分子 = 分母 = 0
の場合は除いてください。

お礼

回答ありがとうございます（本文を含めまして）
1=0.9999....ならば、1-0.9999....=0なのに
(1-0.9999....)/(1-0.9999....)=1が成り立つ
分母=0なのにこの式が成立するのが不思議でしたが定義と聞いて、疑問はありません（釈然としませんが）次の疑問は1≠0.9999....とするとどのような不都合が生じるか、ということです。

回答No.8

asuncion

＞分子＝分母＝（1ー0.99999・・・）は１だそうです。
分子 = 分母ならば、
1 - 0.999999...
であるかどうかに関係なく、値は1です。
よって、その話は、1 = 0.999999...
とは何の関係もありません。

お礼

回答ありがとうございます

分子＝分母なら値は１というなら０/０も１になりませんか？
1=0.99999.....なら1-0.99999.....=0ですよね

回答No.7

yuseikamen

>>1=0.99999・・・だそうです。腑に落ちませんがｗ
腑に落ちないでしょう。
貴方は正しい。
1＝0.999999・・・＋0.0000.・・・1　だからです。
0.99999・・・・と無限につづくなら1に収束すると言うことです。
極限値という考えです。
ｎ＝0.9999999・・と無限に続くなら
（1-ｎ）は０に収束すると言うことです。
＞＞この式が成り立つなら分母は０じゃない
その通りです。貴方は正しい。
極限値という考えなら0に収束するだけで０ではありません。
だから分母に1-ｎをもってきても不定義とはなりません。
ｎ＝0.99999999・・・・・の場合
1/（1-ｎ）は無限大∞となります。

（1-ｎ）/（１-ｎ）　　1-ｎ＝０で無いなら
1になることは分かりますね。

極限値を表すlimを使わないで説明しました。

お礼

回答ありがとうございます

0.99999・・・・と無限につづくなら1に収束する
これを「1=0.99999・・・」と等号をつかって表記するのは、小中高とならってきた等号とは等号の意味が違うということでしょうか。

回答No.6

Biolinguist

同じことですけど、
1ー0.99999...＝0.0000000.....
ですよね？
0が永遠に続きます。
0が永遠に続くなら0でしょ？

実質的に同じなら、同じでいいんじゃん、ということです。
でも直感的に納得できないことを、無理に納得する必要はありませんよ。
数学がそんないい加減なことでいいのか！　なんてね。

でも、数学にもいろいろあって、たとえば位相幾何学なんかでは、ドーナツとコーヒーカップは同じ空間と考えます。
変ですよね。

大事なのは、堅苦しく考えないことです。
数学を含めて、この世界はおかしなこと、納得できないこと、直感に反することだらけです。
でも、直感に反することを仮定することで、数学を含めて科学は進歩してきました。
マイナスとマイナスをかけるとプラスになるとか、
二乗するとマイナスになる虚数とか、
何でも吸い込むブラックホールとか。

お礼

回答ありがとうございます

確かに、ミスドに行ってハニーデッィップ（これが好きだ）とコーヒーカップが同じものだと言われると途方に暮れます。マイナス×マイナス＝プラスや虚数は、理解を諦めて、そういうことにするといろいろ便利らしいから暗記しているだけです。数学の発想ではないですね。
　実質的に同じなら、同じでいいんじゃん
工学屋の数学はその精神でやってます。微小値は０にしちゃいます。でも、数学専門の「実質的に同じ」は違うものなのでしょうね

回答No.5

info33

> 分子＝分母＝（1ー0.99999・・・）は１だそうです。定義らしいです。
これは間違いです。
0.99999... =1は定義です。
なので, 1-0.99999... =0 が成り立つ。
分数の分母ば割り算の定義から分母≠0 です。

したがって, 分母＝1-0.99999... =0 とおいてはいけないのです (定義無視)。
分子は 1-0.99999... =0 とおいても何ら問題ない。
分母を0 とする分数は定義できません。

分母＝1-0.99999... とおいたことが矛盾を招いたことになる。

お礼

回答ありがとうございます
　分母＝1-0.99999... とおいたことが矛盾を招いたことになる。
lim(h→1)のとき(1-h)/(1-h)の答えは lim(h→1)=0.999999・・・・だから１となる、という理解は間違っているということでしょうか

回答No.4

f272

> 1=0.99999・・・だそうです。腑に落ちませんがｗ

1はわかるのですね。
0.99999・・・とは何ですか？この書き方でどんな数値を示そうとしているのでしょう？世間では，これは1の別表記として認識されています。同じ数値であってもその表記法は1つとは限りません。

> 分子＝分母＝（1ー0.99999・・・）は１だそうです。定義らしいです。

これは，そんなことを言う人がいるかもしれませんが，必ずそうだということではありません。そういう風に定義すると便利な時にはそのように定義するというだけのことです。一般的には0/0になるのですから未定義です。

お礼

回答ありがとうございます
　一般的には0/0になるのですから未定義です
lim(h→1)のとき(1-h)/(1-h)=1と習いましたし理解しているつもりですが
lim(h→1)=0.999999・・・・は一般的ではないということですか？

回答No.3

heyboy

何故
1=0.99999なのか？
簡単ですよ。
「1」は理論上の数値であり
（噛み砕くと自分達の頭の中で
考える事です。）
「0.99999」はリアルでの数値
だからですよ。
（リアルでは100％は存在しません
極端に少なくても不純物が
含まれるのがリアルですから）

つまりはそう言う事だと思う。

お礼

回答ありがとうございます

　「1」は理論上の数値であり
どんな「数」も現実に見たことはありません。見たことがあるのは「存」か「在」のどちらかの世界のなかで数詞なり単位が付随したものばかりです。