和の集まりを一括して，ひとつの数式で表示する表現方

質問

X(i)とY(j)を正の整数とします．次の和の集まり X(i)＋Y(j) があるとします.

X(i)＋Y(j),
i＝1,2,...,p.　　　（pは正の整数）
j＝1,2,...,q.　　　（qは正の整数）

このとき，W(i,j)を
W(i,j)＝X(i)＋Y(j)，
i＝1,2,...,p，
j＝1,2,...,q，
と書いたとすれば，W(i,j)は，pq個あるすべての和：X(i)＋Y(j)を表している事になりますか？
この場合，曖昧な点や，瑕疵はありませんか？

また，上記の和 X(i)＋Y(j)，すなわち，

X(1)＋Y(1)，X(1)＋Y(2)，・・・，X(1)＋Y(q)，
X(2)＋Y(1)，X(2)＋Y(2)，・・・，X(2)＋Y(q)，
・・・・・・・・・・，
X(p)＋Y(1)，X(p)＋Y(2)，・・・，X(p)＋Y(q)，

を，一括して表現する既存の数学分野での数学的な表示方法は存在しますか？
存在するとすれば，名称は何ですか？
以上，教えて下さい．よろしくお願いします．

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

自然数の集合N, A={1, 2, ... , p}, B= {1,2, ... , q}, AからNへの写像X, BからNへの写像Yが与えられた時、 A×BからNへの写像 W を W(i,j) = X(i) + Y(j)で定義する、というだけの話ではなくて？ 当然Wの像 im(W) は、im(W)= { W(i,j) | i∈A, j∈B}となる。

（一応書いておくと、A×Bの×は直積 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88 写像の像 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%83%8F_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29 )

お礼

ご回答，ありがとうございました.

補足

回答を頂き，ありがとうございました．
たいへん参考になりましたが，
質問の記述内容が言葉足らずでした．申し訳ありません．
実は，直積集合が使えないのです．なぜならば，

W(i,j)＝W(u,v)，u＝1,2,...,p，v＝1,2,...,q.　

となる場合が頻繁に存在するのです．
この様な場合は，どう考えたらよいでしょうか？

回答No.3

tmppassenger

ask-it-aurora さんが言っている通りで、

> W(i,j)＝W(u,v)，u＝1,2,...,p，v＝1,2,...,q.　
> となる場合が頻繁に存在する

というのは、単にWが単射ではない、といっているだけにしか見えない。

お礼

ご回答，ありがとうございました.

補足

tmppassenger さんも，ask-it-aurora さんも仰るとおりで，
私が，単射，全射，全単射の事を忘れていました．
tmppassenger さんの回答 No.1の直積集合は条件付きで使えます．
ありがとうございました.

回答No.2

ask-it-aurora

tmppassengerさんとは異なる回答を述べます（が、そちらの方が直截的です。補足コメントに書いてある状況では写像 W が単射でないだけで、どうして直積集合が使えないのか、これまでの文面からは理解できません）。

他のやさしい表示は行列の積を使ったものでしょうか。つまり p 行 2 列の行列 x と 2 行 q 列の行列 y を

x := [
[ X(1), 1],
...,
[ X(p), 1]],

y := [
[ 1, ..., 1 ],
[ Y(1), ..., Y(q) ]]

で定義します。その積を w := [ W(i, j) ] := x*y とおけば各成分は W(i, j) = X(i) + Y(j) となります。

お礼

ご回答，ありがとうございます.
なるほど，行列ですか！
p行 2列の行列 x を,
x :=
　[ X(1), 1],
　[ X(2), 1],
　[・・・，]
　[ X(p), 1],

とし，2行 q列の行列 y を
y :=
　[ 1, 1, ..., 1 ],
　[ Y(1), Y(2), ..., Y(q) ]

として，その積，x*y をとれば，
これが x*y＝{ W(i,j) | i∈{1,2,...,p}，j∈{1,2,...,q} } の行列になる，というわけですね．
なるほど，いい方法です．ありがとうございました.

補足

＞写像 W が単射でないだけで、・・・・・

のご指摘，ありがとうございました．
うっかり，この事を忘れていました.