困っています。ビオサバールとコイルの問題。

質問

ビオサバールの法則とコイルの問題です。

(1)(2)までは出来たのですが、(3)以降から分かりません。
せめて、(3)だけでも構いませんので教えて頂けら幸いです。
[(4)以降解く為に(3)が必要。]

一応、自分の解答は

(1)省略

(2)(√3/6a)I/π

と、なりました。(解答が無いため間違っているかもしれません)

何卒よろしくお願いします。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

(1)
dH= ( I/(4π)) ds× r/|r|^3
H= ∫ C dH = {1/(4π)} ∫C I ds× r/|r|^3

(2)
3点 A,B,C と点D(0,0, √6 a/3) は正四面体の頂点を構成する。
正四面体DABCの重心をG(0,0,√6 a/9) とする。

H[AB] = {1/(4π)} ∫[AB] I ds × r/|r|^3
= {I/(4π)} ∫[0,a] |r|sinθ ds/|r|^3 (ベクトルの方向は CG↑方向)
= {I/(4π)} ∫[0,a] a sin(π/3) / (s^2+a^2-as)^(3/2) ds
= {I/(4π)} ∫[0,a] a√3/2 / (s^2+a^2-as)^(3/2) ds
= {√3 a I/(8π)} ∫[0,a] 1 / (s^2+a^2-as)^(3/2) ds
= √3 I/(6πa) (CG↑/ CG)
|H[AB]|= √3 I/(6πa)

>(√3/6a)I/π
合っています。

(3)
H[AB]= √3 I/(6πa) (CG↑/ CG)
= (√2/3)(1,√3, 1/√2) √3 I/(6πa)
= (1,√3, 1/√2) (√6 I/(18πa) )
H[BC] = {1/(4π)} ∫[BC] I ds × r/|r|^3 = √3 I/(6πa) (AG↑/ AG)
H[CA] = {1/(4π)} ∫[CA] I ds × r/|r|^3 = √3 I/(6πa) (BG↑/ BG)
H = {1/(4π)} ∫[C] I ds × r/|r|^3 = H↑[AB]+H↑[BC]+H↑[CA]

z軸と直角な成分はベクトル合成するとゼロベクトルとなるから
Hx=Hy=0. Hz= (3H[AB]z)= √3 I/(6πa)
(Hx,Hy,Hz) = (0, 0,√3 I/(6πa))

(4),(5) 省略