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べき級数の収束半径
taropooの回答
- taropoo
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『x0のある右近傍で微分可能かつ0でない関数f(x),g(x)が、x→x0+0で無限大であるとする。 もし lim{x→x0+0} f(x) / g(x) が存在するならば lim{x→x0+0} f'(x) / g'(x) も存在して lim{x→x0+0} f(x) / g(x) = lim{x→x0+0} f'(x) / g'(x)』 …(i) 『x→+∞の時にも同じ事が成立する』 …(ii) ってのもあったんですね。ってことは都合4パターンあるってことですね。勉強不足でした。 これを使えばsiegmundさんのおっしゃる通り簡単です。(ii)の方を使います。 lim{n→∞} (1/n) log n = を示すため、整数ではなく実数の関数でまず示します。 f(x) = log x, g(x) = x とすると、f(x),g(x)はx→+∞のとき無限大です。 lim{x→+∞} f(x) / g(x) が存在する事を示しましょう。 そのためには f(x) / g(x) が[a,+∞)で単調減少かつ下に有界である事が言えれば良いわけです。 aをeとすると都合が良いので[e,+∞)で考えましょう。この時 {f(x) + g(x)}' = {(1/x) log x}' = (1 - log x) / x^2 ≦ 0 (e≦x)、よって[e,+∞)で単調減少。 またこの区間でf(x),g(x)ともに正なので f(x) / g(x) > 0、よって下に有界。 これでlim{x→+∞} f(x) / g(x) が存在する事が示されましたので後は計算するのみ。 f'(x) = 1/x, g'(x) = 1なので lim{x→+∞} (1/x) log x = lim{x→+∞} f(x) / g(x) = lim{x→+∞} f'(x) / g'(x) = lim{x→+∞} 1/x = 0 よってlim{x→+∞} (1/x) log x = 0 なので lim{n→+∞} (1/n) log n = 0 が示されました。 これで良いんですよね? >siegmundさん
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