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級数の収束半径
次の級数の収束半径がわかりません!! Σ(n/(n+1))^(n^2) z^n コーシーアダマールの定理を使うんでしょうか?? limsupの式はわかるのですが計算方法が・・・。。 よろしくお願いします。
- smileshower
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- Tacosan
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えぇと.... なんで limsup (n/(n+1))^n=1 なの? sup の付かない lim [n/(n+1)]^n はわかりますよね?
- Tacosan
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あれ~, #2 の計算も間違えてるよ.... 極限値が両方とも逆数にならないとだめ.... えぇと, まあとにかくあんな計算をすれば収束半径にかかわる値が出ます. 今のままいくなら n^2 を指数に持つ部分とその他の部分に分ける. でどっちも (有限値に) 収束することを確認すれば OK. あるいはコーシーの判定法を使う. こっちはさすがに (式を書いてないだけあって) 間違えようもない.
- Tacosan
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あ, しまった, 分子と分母を逆だと勘違いした. 収束半径は e ですね. limsup の中身を努力と根性でばらすと { ((n+1)/(n+2))^((n+1)^2) } / { (n/(n+1))^(n^2) } = {[(n+1)^2]/[n(n+2)]}^(n^2) ・ [(n+1)/(n+2)]^(2n+1) になり, この 2つの因子はどちらも n→∞ で収束してその極限はそれぞれ 1/e と e^2 だから limsup (それ) = e. でも, コーシーの判定法を使った方がはるかに楽だと思う.... いくらなんでも [n/(n+1)]^n の (n→∞ の) 極限はわかるだろう.
- Tacosan
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とりあえず詰まったところまで書いてみてください. でも形からして 1/e っぽいんだけど....
補足
収束半径R=limsup { ((n+1)/(n+2))^((n+1)^2) } / { (n/(n+1))^(n^2) } の式までです。 どのように計算すればよいか・・・
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