以下の位相空間の証明問題が分かりません…

質問

以下の位相空間の証明問題が分かりません…

Xは二つの位相O、O’についてコンパクトかつHausdorff空間であるとする。このとき、O＝O’または、OとO’は比較不可能(すなわちO’⊂OでもO⊂O’でもない)であることを示せ。

わかる方教えてください…！お願いします

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

もうちょっとdirectに書くと、次のようになる。

問題の条件で、OがO'より強いとする。この時O'がOよりも強いことを示せば良い。従って、S=(X,O)の開集合が、T=(X,O')の開集合であることを示せば良い。

U∈Oをとる。U∈O'を示せば良い。任意のx∈Uに対して、あるW∈O'があって、x∈W且つW⊂Uとなることを示せばよい。
A=X\Uとする。任意のy∈Aに対し、x≠yである。TはHausdorffだから、あるWy∈O'、Zy∈O'があって、x∈Wy, y∈Zyであって、Wy∩Zy=∅である。今任意のy∈Aに対し、このようなWy, Zyを一つ選ぶ（選択公理）。

今V = {Zy | y∈A}は、TにおけるAの開被覆である。OはO'より強いから、これはSにおけるAの開被覆でもある。U=X\AはSの開集合だから、よって、V∪{U}はSにおけるXの開被覆である。 Sはcompactだから、V∪{U}の有限集合でXの（O-）開被覆であるものがある。この内、Vに属するものをZy1, Zy2, .... , Zynとすると、U∩A=∅であるから、{Zy1, Zy2, .... , Zyn}はAの（O-）開被覆である。

このy1, y2, .... , ynに対し、W=Wy1∩Wy2∩... ∩Wynを考える。W∈O' (WはTの開集合）、又x∈Wである。
又任意のy∈Aに対し、{Zy1, Zy2, .... , Zyn}はAの（O-）開被覆であるからy1, y2, ..., ynのなかのどれかのyiで、y∈Zyiとなるものがある。このyiに対し、Zyi∩Wyi = ∅, W⊂Wyiより、y ∉W。従って、任意のy∈Aに対しy ∉Wであるから、A∩W = ∅、従ってW⊂X\A = Uとなる（証明終）

お礼

tmpname様、丁寧でわかりやすい回答ありがとうございます…！！！とても納得できました！ 参考にさせて頂きますm(__)m 本当にありがとうございます…！！

回答No.1

tmpname

つまり、『Xが二つの位相O、O’についてcompactかつHausdorffの時、OがO'より強ければ、O=O'である』ことを示せばいいですが、実は、『O, O'がX上の位相で、(X,O)がcompact, (X,O')がHausdorffで、OがO'より強ければ、O=O'である』事が言える。

で、上の事は、例えば
＊松坂和夫「集合位相入門」（岩波）第5章定理15と問題5.2.4
＊斎藤正彦「基礎数学14数学の基礎」（東大出版）定理5.2.19と問題5.2.2
に正にその事が書いてあります。要は
「Xをcompact空間、YをHausdorff空間、fをXからYへの連続な全単射とすると、fは同相写像である」という定理で、これにそって証明しましょう。

S= (X,O)がcompact, T=(X,O')がHausdorffで、OがO'より強いとする（O⊃O'）。その時O'がOより強い（O⊂O'）ことを示せば良い。
fをSからTへの恒等写像とすれば、OがO'より強いから、fは連続である。
AをSの「閉集合」とすると、Sはcompact空間だから、AはSの中で、compactである。fは連続だから、f(A)はcompact、したがってAはTの中でもcompact。今TはHausdorffだからAはTの閉集合。

従って、Sの閉集合は全てTの閉集合となるから、O'は Oよりも強い。従ってO=O'である。//

上の証明を見ると、4つ位補題となる命題を使っています。いずれも本には書いてあると思いますので、一旦確認してください。あるいは、上の2つの本を手にもっておくのもいいでしょう。