△ABCの三辺の長さが変わる時のxの範囲

質問

三辺の長さがa=3x+5,b=x^2+x,c=x^2+1である△ABCがある。ただしx>0とする。
（1）3つの辺の中でaが最も短くなるときのxの範囲を求めよ。
（2）3つの辺の中でaが最も長くなるときのxの範囲を求めよ。

という問題なんですが、単純にxに1,2,3,…と代入して求めるのダメなんでしょうか。
解答には（1）の答えは4<=x。（2）の答えは2<x<=1+√6となっていました。
最も短くなるときの範囲と最も長くなるときの範囲が重なることってあるんですか？

回答No.3

jcpmutura · ベストアンサー

三辺の長さが
a=3x+5
b=x^2+x
c=x^2+1
である△ABCがある。
ただしx>0とする。

2辺の和は他の1辺より大きいから
b+c>a
x^2+x+x^2+1=b+c>a=3x+5
x^2+x+x^2+1>3x+5
両辺から3x+5を引くと
2x^2-2x-4>0
両辺を2で割ると
x^2-x-2>0
左辺を因数分解すると
(x-2)(x+1)>0
x>0→x+1>1>0だから両辺をx+1で割ると
x-2>0
両辺に2を加えると
x>2…(0)

a+b>c
3x+5+x^2+x>x^2+1
4x+4>0
x+1>0
x>-1
これと(0)から
x>2

a+c>b
3x+5+x^2+1>x^2+x
2x+6>0
x+3>0
x>-3
これと(0)から
x>2

(1)
3つの辺の中でaが最も短くなるとき
aはcより短いから
a≦c
3x+5=a≦c=x^2+1
3x+5≦x^2+1
両辺から3x+5を引くと
0≦x^2-3x-4
右辺を因数分解すると
0≦(x-4)(x+1)
x>0→x+1>1>0だから、両辺をx+1で割ると
0≦x-4
両辺に4を加えると
4≦x…(1)

aはbより短いから
a≦b
3x+5=a≦b=x^2+x
3x+5≦x^2+x
5≦x^2-2x
6≦(x-1)^2
これと(1)から
4≦x→3≦x-1→6<9≦(x-1)^2
∴
4≦x

(2)
3つの辺の中でaが最も長くなるとき
aはbより長いから
b≦a
x^2+x=b≦a=3x+5
x^2+x≦3x+5
x^2-2x-5≦0
(x-1+√6)(x-1-√6)≦0
(0)からx>2→x-1+√6>1+√6>0だから両辺をx-1+√6で割ると
x-1-√6≦0
両辺に1+√6を加えると
x≦1+√6
これと(0)から
∴
2<x≦1+√6…(2)

aはcより長いから
c≦a
x^2+1=c≦a=3x+5
x^2+1≦3x+5
x^2-3x-4≦0
(x-4)(x+1)≦0
x>2→x+1>3>0だから両辺をx+1で割ると
x-4≦0
両辺に4を加えると
x≦4
これと(2)と
1+√6≒3.449489742783178<4
だから
2<x≦1+√6

aが最も長くなる時のxの範囲(2)の上限1+√6より
aが最も短くなる時のxの範囲(1)の下限4の方が大きいので
重なっていません。

aが最も長く(短く)なるというのは
aがb,cに比べて相対的に長く(短く)なるというのであって
絶対的に長く(短く)なるわけではありません

x=5
の時
a=3*5+5=20<c=5^2+1=26<b=5^2+5=30
a=20がc=26,b=30より最も短い

x=3
の時
a=3*3+5=14>b=3^2+3=12>c=3^2+1=10
a=14がb=12,c=10より最も長い

お礼

詳しい解説ありがとうございます。長さが絶対的に長くなったり短くなるわけじゃないんですね！モヤモヤが晴れました。ありがとうございました。

回答No.2

nihonsumire

おそらく三角形になるための条件を使うのでしょう。下記サイト参照。
http://mathmatik.jp/2017/02/16/tri_exist_condition/

お礼

三角関係の条件を使って解くことが出来ました。リンクも載せていただきありがとうございました。

回答No.1

asuncion

＞単純にxに1,2,3,…と代入して求めるのダメなんでしょうか。
少なくともその方法では求まらないでしょうね。
なぜなら、「xは自然数」というしばりがどこにもないからです。
それに、1, 2, 3, ...と調べていくとして、どこまで調べるのですか？

お礼

回答ありがとうございます。確かにそうですよね。代入で求められないのはわかりました。