減衰振動の相平面上での描画とらせん状の確認
- 減衰振動 y(t) = exp(-t) * sin(t) を相平面上に描き、らせん状を確認したい。
- 特性方程式から微分方程式を求め、積分して得られる式を変形しています。
- 特性方程式から得られた式を変形して、その解析解を極座標に変換しています。
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y(t)=exp(-t)*sin(t)を相平面に描
質問内容 減衰振動 y(t) = exp(-t) * sin(t) を相平面上に描いて、らせん状になることを確認したい。 50歳の数学が趣味の会社員です。 いま勉強している「技術者のための高等数学－１ 常微分方程式」の第５版 （ISBN4-563-00561-4）の 131頁に載っている下記の問題が難しくてどうしても 解けません。 かれこれ 1週間ほど悩んでいます。 12.減衰振動 y(t) = exp(-t) * sin(t) を考える。対応する曲線を相平面上に 描き、この曲線がらせん状をしていることを見よ。 y(t) = exp(-t) * sin(t) から特性方程式 の解はλ = -1±i。（i = √(-1)） ゆえに特性方程式は、 (λ - (-1 + i)) * ((λ - (-1 - i)) = ((λ + 1) - i) * ((λ + 1) + i) = (λ + 1) ^ 2 - i ^ 2 = λ ^ 2 + 2 * λ + 1 + 1 = λ ^ 2 + 2 * λ + 2 特性方程式に対応する微分方程式は、 y'' + 2 * y' + 2 * y = 0（' は d/dt） … (1) v = y' = dy/dt とおくと、 y'' = v' = dv/dt = dv/dy * dy/dt = dv/dy * v ゆえに (1) は、 y'' + 2 * y' + 2 * y = v * dv/dy + 2 * v + 2 * y = 0 dv/dy + 2 + 2 * y / v = 0 … (2) u = v / y, v = u * y とおくと、dv/dy = du/dy * y + u ゆえに (2) は、 dv/dy + 2 + 2 * y / v = du/dy * y + u + 2 + 2 * y / (u * y) = du/dy * y + u + 2 + 2 / u = 0 du/dy * y = -(u + 2 + 2 / u) = -(u ^ 2 + 2 * u + 2) / u u / (u ^ 2 + 2 * u + 2) * du = -dy / y ∫(u / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du = -∫(dy / y) + B （B は積分定数） … (3) (3) の右辺について -∫(dy / y) + B = -log|y| + B (3) の左辺について ∫(u / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du = (1 / 2) * ∫((2 * u + 2 - 2) / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du = (1 / 2) * ∫((2 * u + 2) / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du - ∫(1 / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du = (1 / 2) * log|u ^ 2 + 2 * u + 2| - ∫(1 / ((u + 1) ^ 2 + 1))du = (1 / 2) * log(u ^ 2 + 2 * u + 2) - atan(u + 1)（atan は tan の逆関数） ゆえに (3) は、 (1 / 2) * log(u ^ 2 + 2 * u + 2) - atan(u + 1) = -log|y| + B log(u ^ 2 + 2 * u + 2) - 2 * atan(u + 1) = -2 * log|y| + C（C = 2 * B） = -log(y ^ 2) +C u = v / y なので、 log(v ^ 2 / y ^ 2 + 2 * v / y + 2) - 2 * atan(v / y + 1) = -log(y ^ 2) + C log((v ^ 2 + 2 * v * y + 2 * y ^ 2) / (y ^ 2)) - 2 * atan(v / y + 1) = -log(y ^ 2) + C log(v ^ 2 + 2 * v * y + 2 * y ^ 2) - log(y ^ 2) - 2 * atan(v / y + 1) = -log(y ^ 2) + C log(v ^ 2 + 2 * v * y + 2 * y ^ 2) - 2 * atan(v / y + 1) = C … (4) ここで手詰まり。これ以上、式を簡単にできません。 ここで yv 平面を極座標に変換してみると、(4) は、 y = r * cos(θ), v = r * sin(θ) とおく log(r ^ 2 * sin(θ) ^ 2 + 2 * r ^ 2 * sin(θ) * cos(θ) + 2 * r ^ 2 * cos(θ) ^ 2) - 2 * atan((r * sin(θ)) / (r * cos(θ)) + 1 ) = C log(r ^ 2 * (sin(θ) ^ 2 + 2 * sin(θ) * cos(θ) + 2 * cos(θ))) - 2 * atan(tan(θ) + 1 ) = C log(r ^ 2 * (1 + 2 * sin(2 * θ) + cos(θ) ^ 2)) - 2 * atan(tan(θ) + 1 ) = C log(r ^ 2 * (1 + 2 * sin(2 * θ) + cos(θ) ^ 2)) = C + 2 * atan(tan(θ) + 1) r ^ 2 * (1 + 2 * sin(2 * θ) + cos(θ) ^ 2) = exp(C + 2 * atan(tan(θ) + 1)) = C * exp(atan(tan(θ) + 1))（exp(C) を Cに再定義） r ^ 2 = C / (1 + 2 * sin(2 * θ) + cos(θ) ^ 2) * exp(atan(tan(θ) + 1)) らせん状ということは、r = α * exp(β * θ) の形にならないといけないと 思うのですが、どうしてもその形に持って行けません。 減衰しない振動 y(t) = sin(t) の場合は、対応する曲線を相平面上に描くと 円になるので、減衰振動がらせん状になることは予想できます。 私がどこかで計算を誤っているのでしょうか? それとも、そもそも解き方が 根本的に誤っているのでしょうか ? 最終学歴は工業高校卒業で大学には行っていません。 45歳から数学を独学で勉強していて、周りには質問に答えてくれる人はいません。勉強している本にも答えは載っていません。 ご教示いただければ幸いです。
- Olion70
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よく見ていないけど，計算はあっているように思う。 間違っているのは「らせん状ということは、r = α * exp(β * θ) の形にならないといけない」ということ。別にこんな形でなくても螺旋状に見えますよ。 直接に y(t) = exp(-t) * sin(t) と v(t) = exp(-t) * (cos(t) -sin(t) ) から対応する曲線を相平面上に描いてください。この曲線がらせん状をしていることが見えます。
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- f272
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#1です。 > θは途中（t = 3.1）まで時計回りになっています。 atanでθを計算しているようですが、逆正接関数は多価関数であるため、atanは-π/2からπ/2までの主値と呼ばれる値しか返しません。一般的にはkを整数として v/y=tan(θ)であればθ=atan(v/y)+kπ というようにπの整数倍だけの不確定性があります。 t=3.1からt=3.2のところで、あなたの表に書かれているθの値を-πすればθの値は連続的に変化していきますね。要するにらせん回転の2周目に入ったということです。
お礼
回答、ありがとうございます。 実はプログラムを作って t から y, v, r, θを計算したとき θが時計回りをしているのに、どうして t=3.1 と t=3.2 の間で このような値になってしまうのか理由が分かりませんでした。 y と v の値を追って行けば、ご指摘のとおり t=3.2 以降も 時計回りをしています。 数学って難しいですね。もっと勉強します。 ありがとうございました。
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お礼
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