2次元フーリエ変換の導出について
- 2次元フーリエ変換の導出について教えてください。
- g(x,y)=sin(a*x+b*sin(c*y))の2次元フーリエ変換を導出できません。
- G(u,v)=∫[-∞,∞]∫[-∞,∞] sin(a*x+b*sin(c*y))exp(-iux)exp(-ivy)dxdy の変形に困っています。
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2次元フーリエ変換
g(x,y)=sin(a*x+b*sin(c*y))の2次元フーリエ変換を導出できません。 G(u,v)=∫[-∞,∞]∫[-∞,∞] sin(a*x+b*sin(c*y))exp(-iux)exp(-ivy)dxdy で変形していくと 1/2i (δ(u-a)∫exp(ib*sin(cy)-ivy))dy+δ(u+a)∫exp(-ib*sin(cy)-ivy)) =1/2i (δ(u-a)∫exp(b(exp(icy)-exp(-icy))/2-ivy))dy+δ(u+a)∫exp(-b(exp(icy)-exp(-icy))/2-ivy)) となりexpのなかにyとsin(y)だったりyとexp(y)が混在してうまく積分が思い浮かびません。 ご教示宜しくお願いします。
- tg420
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ANo.1へのコメントについてです。 sin(c*y)を級数展開して、 exp(i*b*sin(c*y)) = exp(i*b*(c*y))exp(-(i*b/6)(c*y)^3)exp(-(i*b/120)(c*y)^5)… とやってからフーリエ変換するか、あるいは exp(i*b*sin(c*y)) 全体をyで級数展開してから項別にフーリエ変換するか。 解析的に計算できるかどうかはワカラナイけど、|b|が十分小さいなら、数値的には比較的簡単に収束しそうです。
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- stomachman
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"*"を掛け算の意味でお使いのようだから、それに倣いましょう。 q(x,y) = exp(i*b*sin(c*y)) r(x,y) = exp(-i*b*sin(c*y)) の2次元フーリエ変換をそれぞれQ(u,v), R(u,v)とすれば、 G(u,v) = (Q(u-a,v)-R(u+a,v))/(2i) と書ける（かな？） さて、q(x,y), r(x,y)の右辺にxが出て来ないのは、xに関する定数関数だということです。なのでq(x,y)のyに関する1次元フーリエ変換をS(v)とするとき、 Q(u,v) = δ(u)*S(v) である。つまりu≠0のときQ(u,v)=0です。rについても同様で、q(x,y)のyに関する1次元フーリエ変換をT(v)とするとき、 R(u,v) = δ(u)*T(v) であり、u≠0のときR(u,v)=0。そして、 G(u,v) = (Q(u-a,v)-R(u+a,v))/(2i) = i(δ(u+a)T(v)-δ(u-a)(S(v))/2 であり、|u|≠aのときG(u,v)=0。 結局、S, Tをナントカしなくちゃならん訳ですが、えーと、ナントカなるかな？
補足
ありがとうございます。 そのSとTをどうにかしたいのです…
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