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oodaikoの回答
この問題に関する限りf'(X)は必要ありません。 f(X)=X^3-X^2+bX-b = (X-1)(X^2 + b) と因数分解すると3次方程式f(X)=0は1,±√-b という解を持つことがわかります。 これらは実数でなくてはいけないので まず第一に -b≧0 すなわち b≦0 であることが必要です。 さらにこれらの解はすべて異なっていなければいけないので ±√-b≠1 かつ +√-b≠-√-b であることも必要です。 これでおわかりですね。 xyzに関する条件はbに関する条件とは符合が逆になることに注意しておいて下さい。 この問題はおそらく受験問題でしょうね。確かにこの手の問題では f'(X)を未知係数b を入れたままの形で解いてそれをf(X)に代入し、極大値と極小値の符合が逆になる ような条件を求めるのが一般的なパターンです。この問題でもその方法で解けない ことはなさそうですが、そうとう面倒です。(再びbについての3次方程式に関する 条件を調べなくてはならない。)この問題のように元の式を直接因数分解 できるのなら直接的に解を求めてしまった方が早いです。
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