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数学の問題教えて下さい。
次の条件によって、定められる数列{an}の一般項をもとめよ。 （３） a1=1 an＋１＝1/3an＋２ 病気で休んでまして、わからないので解説解答お願いします。
- shidoukai_chi
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- ddtddtddt
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言ってる事は、#1，2さんと同じです。 移項して、 3a(n+1)－a(n)＝6 (1) になりますが、a(n+1)やa(n)の足し算で定義される漸化式は別名、線形差分方程式と言われます。いまa(n+1)とa(n)しかないので、一階線形差分方程式です。 まず線形に限らず、一階差分方程式の一般解は、 a(n)＝f(A，n) (2) だとわかっています。ここでAは、初項によって決まる任意定数で、f(A，n)の形は与えられた漸化式ごとに決まります。 次に線形差分方程式は、次のように非常に良い性質があります。解a(n)を、 a(n)＝b(n)＋c(n) (3) という風に2つの数列の和として表すと、(3)を(1)に代入すれば明らかなように、 (3b(n+1)－b(n))＋(3c(n+1)－c(n))＝6 (4) と、b(n)とc(n)についてa(n)と同じ形の和に分離できます。 ここで都合の良い事を考えます。次の(5)と(6)の和は、明らかに(4)を満たします。 3b(n+1)－b(n)＝0 (5) 3c(n+1)－c(n)＝6 (6) (5)，(6)は一見、無意味に見えますけれど、(5)の解は明らかに、b(n)＝A×(1/3)^(n-1)です。b(n)に任意定数Aが出てくるので、(2)と(3)から、(6)を満たすようなc(n)を何でも良いから、一個見つければ良い事になります。 (6)は(1)と同じ形ですが、「何でも良い」事から一般項はどうか？などと気にする事なく、出来るだけ簡単なケースを試せば良い訳です。 例えばc(n)＝定数 は数列です。c(n)＝定数が可能かどうかは、c(n)＝定数を(6)に代入して確かめればOKです。定数をtとします。 3t－t＝6 (7) からt＝3になります。従って(3)より、 a(n)＝A×(1/3)^(n-1)＋3 が(1)の一般項だと結論できます。 ちなみに(7)は普通、特性方程式とは言わないと思うんですよね。特解を出す計算だと思います。
お礼
有難うございました。
- asuncion
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おっと、書き間違いが...。 誤：(1)から、a[n+1] = a[n]/3 + t - t/3 = a[n] + 2となりますので、 正：(1)から、a[n+1] = a[n]/3 + t - t/3 = a[n]/3 + 2となりますので、
お礼
有難うございました。
- asuncion
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＞特性方程式 t = t/3 + 2を解く。 いきなりこんな式が出てきてわかりづらかったかもしれません。 a[n+1] = a[n]/ 3 + 2を何とかしてa[n+1] - t = (a[n] - t)/3 ... (1)と変形し、 数列{a[n] - t}が等比数列であることを言いたいのです。 (1)から、a[n+1] = a[n]/3 + t - t/3 = a[n] + 2となりますので、 t - t/3 = 2となります。これを解くとt = 3になりますので、(1)に代入し、 a[n+1] - 3 = (a[n] - 3)/3となります。
お礼
有難うございました・
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