中学受験算数 図形の問題

質問

図（添付画像）のような一辺が90mの正方形ABCDがあり、AE,DFの長さはともに５０mです。

点Pは９時にAを出発して、毎分１０mの速さで正方形の辺上を、A→B→C→D→Aと動いて1周します。

点Qは９時にCを出発して、毎分６mの速さで正方形の辺上を、C→D→A→・・・と、点Pが1周するまで動きます。

この時、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積について調べます。

次の空欄に当てはまる数を答えなさい。

（１）点PがAE上にある９時（　　）分に、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積が等しくなります。

（２）点PがEB上にある９時（　　）分に、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積が等しくなります。

（３）点PがBC上にある９時（　　）分に、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積が等しくなります。

（４）点PがCを過ぎてからAに戻るまでの間で、三角形PEFの面積と三角形QEFの面積が等しくなルノは、９時（　　）分から９時（　　）分までの間です。

答えは、（１）２と2分の１　（２）５と8分の５　（３）１３と3分の１　（４）２７、３０　です。

わからないです（ ｉ _ ｉ ）

回答No.2

noname#227653 · ベストアンサー

(1)です。

まず、スタートするときの三角形PEFの面積を出してみましょう。
PはAにあるので、三角形PEFは50×90÷2で2250cm2ですね。
そして、1分たつと、三角形PEFの辺PEが10cm短くなりますね。辺EFを底辺とすると、高さは辺PEです。つまり、底辺は変わらずに高さだけ10cm短くなるわけです。だから、面積は10×90÷2で450cm2ずつ小さくなります。

一方、三角形QEFの面積は、スタートするときは40×90÷2で1800cm2です。
そして、辺QFは1分で6cm短くなるので、面積は6×90÷2で270cm2ずつ小さくなります。

これを使えば旅人算のようにして答えが出せますよ。
スタートするときは三角形PEFの方が2250－1800で450cm2大きいですね。これが0cm2になるときに、面積が同じになるわけです。
そして、三角形PEF の面積は1分ごとに450cm2ずつ小さくなり、三角形QEFの面積は1分ごとに270cm2ずつ小さくなるので、面積の差は450－270で180cm2ずつ縮まっていきます。
だから、450cm2が0cm2になるまでの時間は、450cm2÷180cm2毎秒で2.5秒後ということになりますね。

次に(2)です。

三角形PEF も三角形QEFも少しずつ小さくなっていくのですが、ではどちらが先に0cm2になるかわかりますか。
それは三角形PEFです。スタートしてから5分後にＰがEに重なると面積が0cm2になってしまいます。
このときＱは5分×6cm毎分で30cm動いています。だからQとFの間は40－30で10cmですね。

この後は、ＰとＱを結んだ線が辺EFと平行になるまで動かせばいいのです。そうすれば、辺EFを底辺としたときの高さが同じになりますから、面積も同じになりますね。
これは、PとQが出会う問題と同じです。10cm÷(10＋6)cm2で、8分の5分後ですね。
PがEに着くまでの5分と足せば、それが答えです。

(3)は簡単ですね。

Pが辺BC上にある間、三角形PEFの高さはずっと40cmですね。
だから、三角形QEFの高さも40cmになれば、面積も同じになります。QFが40cmになればいいのですから、QCは40cm＋40cmで80cmですね。80cm÷6cm毎分で13と3分の1分後になります。

(4)は頑張って自分で考えてみて下さいね。

なお、今はたまたま少し時間ができたのでこの投稿に回答しましたが、もうひとつの投稿にお答えする時間がありません。ご容赦下さい。

また、次に投稿を読むのは1月1日になりそうです。

お礼

丁寧な解説をありがとうございました。よくわかりました。

回答No.1

katun01

底辺が同じ三角形の面積がおなじになるときは、高さが同じになるということですよね。
つまり、PとQの位置における線分EFとの垂直距離が同じなる場合を求められています。

あとは、時間経過でそれがどう変化していくかを求めるんですが、中学受験は方程式を使っちゃいけないんでしたっけ？
使っていいなら
（１）は方程式ならQFの距離は４０－６ｔ、EPの距離は５０－１０ｔ
４０－６ｔ＝５０－１０ｔ　
４ｔ＝１０　ｔ＝２．５なので２と２分の１

使ってはいけないなら、時間経過と距離のグラフを方眼紙に作って行けばいいでしょうね。

グラフを書いてみましょう。
Pは時間０のとき５０ｍに点をうちます
分速１０なので５分後　０ｍの点をうちます。そしたらそれをつなげるわけです。
いや、もっといってしまえば、１周するまでの図形を書いてしまいましょう。
AE間は今の式、EB間は、５分からスタートで距離０、９分で距離４０
その後９分間は距離が同じ。１８分で距離４０、２４分で距離０　と書いていきましょう。

Qについても同じグラフ上に書いて交点が求める時間です。

お礼

ありがとうございました。