基本ベクトルと基底の違い

質問

基本ベクトルである（1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)は理解できました。
これがそのまま基底となるケースも理解できました。
いや、基本ベクトルと基底の違いに気付いていませんでした。
x(1,0,2),y(0,1,1)などで表現される基底が分かりません。
基本ベクトルだけではなぜダメなのでしょうか？
二次なら、基本ベクトルだけで平面が張れます。
どんな座標でも２つの基本ベクトルのスカラー倍と和で表現できます。
基本ベクトルのようなシンプルなものでなく、ちょっと複雑な基底がわざわざ必要な意味がわかりません。

最初は、座標面そのものが固定されているものなので、基底が便利なのかなと思ったのですが、
座標面は、いかようにも存在するといいますか、
座標の面は、どんな角度でも存在するといいますか、

あれ？もしかして、3次元から2次元の平面図を意識すると、基底が意味を持ってくるのでしょうか？
3次元の中に、どう平面を置くか（意識するか）という感じで。
2次元だけの世界なら、別にどこに2次元の平面があろうと、あくまでも2次元平面は１つしか存在しなくて、
1次元である線を、どこに置くかによって基底が意味を持ってくるといいますか。

ひとつの次元の中で、その次元のことだけを考えるなら、基本ベクトルが基底と同等で、原点もどこにあろうか自由、原点なんかここにあっても、１００ｋｍ先にあっても関係ない。
が、ひとつの次元の中で、上や下や、違う次元を考えるなら、原点が必要になってくるので、
基底が必要になるってことでしょうか？

回答No.2

ddtddtddt

ほとんど#1の仰っている事に尽きるのですが個人的には基底とは、座標軸に平行なベクトルの事だと考えて良いと思っています。

　ただしこの座標軸には、x(1,0,2),y(0,1,1)などに平行なものも含まれ、座標軸が直交しない座標系の事を斜交座標と言います。じつは斜交座標においても、x(1,0,2),y(0,1,1)などの長さを1に揃えたものを、基本ベクトルと呼ぶ事もあるんですよ(^^;)。

　数学的に最も基本的な斜交座標は、固有ベクトル基底によるものです。(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)による直交座標から、固有ベクトル基底による斜交座標に移ると、行列の性質が一目瞭然になります。なので数学では、固有ベクトルを求める手段を提供する固有空間論が一分野を成しています。

　しかし「基底とは、座標軸に平行なベクトル」だとするならば、なぜ「基底」なんて用語を作ったんでしょう？。「座標ベクトル」とかでも良かったはずです。

　そこにはベクトルというツールの整備の歴史が関係し、ベクトルの定義の仕方（数学理論の設計思想）が関係するので、それはけっこう長い話です。よって、ここでは割愛します(^^;)。

　だから「座標ベクトルを、基底と呼ぶ事に決めただけなのさ」と考えてもOKだと思いますよ(^^)。

回答No.1

kiyos06

>基本ベクトルだけではなぜダメなのでしょうか？
1)ダメじゃないけど、便利な座標系が一つとは限らないから。
2)例:回転機
2.1)固定子上の便利な(固定)座標系と回転子上の便利な(固定)座標系は時々刻々変わる。
3)基底を時々刻々変える(座標変換する)と便利

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n320452