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微分　答えが合いません。

Find the values of x for which the function f(x) = 8x-3+2/(x+1) is increasing. 答は　-3/2<x<-½　　なのですが私は　x <ー3/2 , x > -½ だと思うのです。 F’(x) = 8 - 2/(x+1)^2 4x^2+8x+3 > 0 (2x+1)(2x+3) > 0 となるのですが。 私が間違っていれば、どこがおかしいのか指摘して頂けますか？

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noname#223065
noname#223065
回答No.1

> F’(x) = 8 - 2/(x+1)^2 　微分して正になっていれば増加ということですね。確かめてみます。 f'(x) ={8x-3+2/(x+1)}' =8-2(x+1)'/(x+1)^2 =8-2/(x+1)^2　←お考えの通り 8-2/(x+1)^2＞0　←微分して正なら増加（increasing） 8(x+1)^2-2＞0　←(x+1)^2≧0 4(x+1)^2-1＞0 4x^2+8x+4-1＞0 4x^2+8x+3＞0 (2x+1)(2x+3)＞0　←お考えの通り 　ゆえに、「(2x+1)＞0 かつ (2x+3)＞0」または「(2x+1)＜0 かつ (2x+3)＜0」。 「(2x+1)＞0 かつ (2x+3)＞0」より、「x＞-1/2 かつ x＞-3/2」、ゆえに「x＞-1/2」。 「(2x+1)＜0 かつ (2x+3)＜0」より、「x＜-1/2 かつ x＜-3/2」、ゆえに「x＜-3/2」。 　以上より、「x＞-1/2」、または「x＜-3/2」 　お考えの通りの条件となります。模範解答「-3/2＜x＜-1/2」は間違いです。 P.S. 　模範解答「-3/2＜x＜-1/2」は、与えられた関数の減少の条件になってしまっていますね。模範解答が「-3/2＜x-＜1/2『以外』」となっていればまあまあですが、「-3/2≦x-≦1/2『以外』」とすべきでしょうね。 　模範解答「-3/2＜x＜-1/2」にはまだ問題があります。x=-1を含む区間ですが、与式およびそれを微分した式には分母に「x+1」を含む項がありますから、（たとえ条件をあべこべに勘違い、設問のdecreasingがincreqsingに誤記等々だったとしても）「-3/2＜x-＜1/2である」としたいのなら、分母「x-1」を0にしてしまう「x=-1」を除外しておかねばなりません。

machikono
質問者

お礼

とてもとても勉強になります、有り難うございます。

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その他の回答 (1)

  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)
回答No.2

>答は　-3/2<x<-½　　なのですが 答が間違っています。 >私は　x <ー3/2 , x > -½ だと思うのです。 これで合っています。 >私が間違っていれば、 間違っていませんよ。

machikono
質問者

お礼

いつも自分の答えに自信があってもこちらでお伺いする度　模範解答が正しい事がわかります。 なので今回自分の答えが合ってるとわかってびっくりしてます。 良かった、、ちょっと自信がつきました。 有り難うございました。

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