導関数の問題です（英文含む）

質問

いつも大変お世話になっております。

導関数の問題なのですが、
添付の f '(x)　のグラフを使用し、
intervalとlocal extremaを求める問題なのですが、
一応intervalは添付内のオレンジのように解けたのですが（合っているとは限らない・涙）,
local extremaがいまいちどのようにして求めたらいいか分かりません。

一応以下が問題の原文です。

******** 問題　********

Use the given graph of f ' (x) to find the intervals on which f is increasing, the intervals on which f is decreasing, and the local extrema.

******** 問題終わり　********

不足の情報等がございましたら、
後日追加させて頂きます。
（というか問題から既に色々数字が足りない気がします・・・おそらく「だいたいこうなる」という程度の答えでいいのかもしれません。）

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞＋が増加、－が減少として、intervalは正解です。
f'(-3)=0、f'(1)=0からaを定数として
f'(x)=a(x-1)(x+3)と考えられ、
f'(-1)=a*(-1-1)*(-1+3)=-4a=-2らしいので、
a=1/2
とすると
f'(x)=(1/2)(x-1)(x+3)=(1/2)(x^2+2x-3)
f"(x)=x+2,f"(-2)=0
f(x)=∫f'(x)dx=(1/6)x^3+(1/2)x^2-(3/2)x+C(積分定数)
以上からf(x)はxが-∞～-2で上に凸、-2で変曲点、
-2～∞で下に凸の三次曲線。
よって、極大値はf(-3)で極小値はf(1)。
与条件からC(積分定数)は確定できないので
local extrema は
極大値が
f(-3)=(1/6)*(-3)^3+(1/2)*(-3x)^2-(3/2)*(-3)+C=9/2+C(定数)
極小値が
f(1)=(1/6)+(1/2)-(3/2)+C=-5/6+C(定数)