次式の逆ラプラス変換を教えてください．

質問

X(s)=1/(s^2 +as/b+a^2)
a,bは正の定数です．
ラプラス逆変換をして，x(t)が知りたいのですが，
分母の分解が上手くできません．
よろしくお願いします．

回答No.1

info222_

a, b>0 の値によって場合分けして下さい．

特性方程式s^2 +as/b+a^2=0
判別式D=(a/b)^2-4a^2= (1+2b)(1-2b)a^2/b^2
D=0, D>0, D<0によって場合分けします

case1) b=1/2 (D=0)
case2) 0<b<1/2 (D>0)
case3) b>1/2 (D<0)

case1) b=1/2
X(s)=1/(s+a)^2
x(t)=t e^(-at) (t>=0)

case2) 0<b<1/2
x(t)={(b/a)/(1-4b^2)^(1/2)}
*[exp{-(at/(2b))(1-(1-4b^2)^(1/2))-exp{-(at/(2b))(1+(1-4b^2)^(1/2))}] (t>=0)
正弦双曲線関数sinh( ) を使って 表すなら
x(t)={(2b/a)/(1-4b^2)^(1/2)} *exp(-at/(2b)) sinh{(at/(2b))(1-4b^2)^(1/2)} (t>=0)

case3) b>1/2
x(t)={(2b/a)/(4b^2-1)^(1/2)} *exp(-at/(2b)) sin{(at/(2b))(4b^2-1)^(1/2)} (t>=0)

となります。