準静的過程の指数

質問

Polytropic Processにおける"n"という変数とIsentropic Processの"k"(比熱比)ですが、ガスの圧縮に関してはn<kとなるのでしょうか?

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

結論だけいえばisentropic process(断熱可逆変化)ならばn=κである、ということです。

PV^n=C(一定)...(i)
で表され、nは０から∞まであり得ます。P=CV^(-n)はPをy軸、Vをx軸とするP-V平面の第一象限のなかで、右下がりで下に凸の曲線になります。圧縮とか膨張とかはV軸をどちら方向に移動したかの問題です。

ポリとロープ変化で状態1から状態２になったとき、気体が受け取る熱量は
q12=∫dp=∫du+∫pdv=∫CvdT+∫(C/V^n)dV=Cv(T2-T1)+C[((1/1-n))V^(1-n)](V1→V2)
=Cv(T2-T1)+((1/1-n))PV(1 or 2)^n(V2^(1-n)-V1^(1-n))=Cv(T2-T1)+((1/1-n))(P2V2-P1V1)
=Cv(T2-T1)+(R/(1-n))(T2-T1)
=((n-κ)/(n-1))Cv(T2-T1)...(ii)
と書けます。
また、
P1V1^n=P2V2^n...(iii)
で、それぞれの状態についてP1V1=RT1, P2V2=RT2が成立していますから、これを(iii)の両辺に入れると
RT1V1^(n-1)=RT2V2^(n-1)
すなわち
T2/T1=(V1/V2)^(n-1)...(iv)
となります。

n=0の場合；
(i)よりn=0ならば
P＝C...(v)
となって等圧変化に対応しています。(iv)からもn=0ならP=一定が出てきます。
さらに(ii)より
q12=κCv(T2-T1)=Cp(T2-T1)...(vi)
となり熱量の移動が等圧変化でのそれに対応していることがわかります。

0<n<1の場合；
(iv)から(V1/V2)の指数が負になり、体積が増える(V1/V2<1)ときに温度が上がり、体積が減るのときに温度が下がります。
(ii)においてn<1であるからn<1<κで、qはT2-T1と同符合です。温度があがるとき(つまり体積が増えるとき）吸熱が起こっています。

n=1の場合：
(iv)よりT2=T1で等温変化(等温膨張、等温圧縮)になります。
さらに(i)からPV=CでPV=RTで等温変化に対応することがわかります。
等温変化ですから(ii)の導出は使えず
q12=∫PdV=RT∫(1/V)dV=RTln(V2/V1)...(vii)
となります。体積が大きくなるとき吸熱です。

1<n<κの場合；
(iv)から(V1/V2)の指数が正になり、体積が増える(V1/V2<1)ときに温度が下がり、体積が減るのときに温度が上がっています。しかし(iv)よりT2-T1とq12が逆符合で、温度が下がる(体積が増える)と放熱になります。

n=κの場合;
(ii)よりq12=0ですから断熱過程です。
(iv)から(V1/V2)の指数が正で、体積が増えると温度が下降、体積が減ると温度が上昇です。

n>κの場合；
(iv)より体積が増えると温度が下がり、体積が減ると温度が上がります。(ii)より温度が上がると（体積が減る）と吸熱になります。

n=∞の場合;
(ii)より
q12=((n-κ)/(n-1))Cv(T2-T1)={(1-κ/n)/(1-1/n)}Cv(T2-Ti)→Cv(T2-T1)...(viii)
です。等積加熱に対応していることがわかります。
(iv)式においてn-1=αとおけば
(T2/T1)^(1/α)=V1/V2...(ix)
ですから、n→∞はα→∞で(ix)の右辺は(T2/T1)^0すなわち１に限りなく近づきます。これは等積過程を表しています。

補足

上記の式を参考に導出を復習し、グラフも書いて温度変化を確認しました。n=1を境に逆転するのですね。ところで、圧縮機の断熱が不十分ですとn>kになるのでしょうか?それとも効率が落ちてn<kになるのでしょうか?

Polytropic 指数 圧縮 膨張
k<　　　　　　　上昇　低下
k=　　　　　　　上昇　低下
1<n<k　　　　　上昇　低下
1=　　　　　　　等温　等温
<1　　　　　　　低下　上昇

回答No.2

jamf0421

PV^n=一定が維持された変化でしたら
q12=((n-κ)/(n-1))Cv(T2-T1)・・・(1)
と
T2/T1=(V1/V2)^(n-1)・・・➁
につきます。

0<ｎ<1になっているならば体積の収縮のとき➁より温度が下がっています。そして(1)よりq12<0だから熱を放出しています。
n=1は等温変化ですが、すでに述べたように収縮のときは熱を放出しています。

そして...
１<n＜κなら体積の収縮のとき➁より温度が上がっています。(1)よりq12<0になるので熱を放出しています。

n=κなら断熱変化です。

κ<nならば体積の収縮のとき➁より温度が上がっています。(1)よりq12>0で吸熱しています。

つまりn=κでガスを収縮させようとして断熱が不十分で外の熱源から吸熱がおこるならn>κの方向、断熱が不十分で放熱がおこるならn<κの方向に変化するはずです。

お礼

>断熱が不十分で外の熱源から吸熱がおこるならn>κの方向
>断熱が不十分で放熱がおこるならn<κ
　ー>分かりやすい説明ありがとうございます。断熱が十分かつ仕事にならない熱をMotorから吸熱してもn>kになりますね。納得できました。