gifアニメの玉はどこで止るでしょうか?

質問

下記URLにgifアニメがあります。
http://tkg-ab-msf.tumblr.com/post/146008021037/2channet-exrare

ししおどしのような構造です。
中央回転支持で、水平から時計回りのみ許す梁。
梁の中央から左へLにの位置に、質量Mの錘。
梁の中央から右へLの位置に、梁と水平から、時計回りに5°くらい?の角度(添付画像に図示なし。)から、反時計周りに回転可能な長さlのレールを接続。
レールの右端を受ける台座がある。台座の位置は、梁の指示部から、下にhの位置。
梁の右端を受ける台座がある。台座の位置は、梁の支持部から、下にHの位置。h<H
重さmの玉をレールの上に置くと、動く。m<M
レール上の玉の位置をl2とする。0≦l2≦l

gifアニメですと、かっこんかっこんと6回動いて、終わってしまいます。
玉は結局どこで止るでしょうか?
l2の値が0ではないと思います。
添付画像のように、0＜l2<lのどれかだと考えています。
私は誤っていて、l2の値がlだったりしますでしょうか?
計算できないでしょうか?

回答No.1

chiha2525_ · ベストアンサー

横棒の折れ曲がるところに磁性体、その下の台の中に電磁石が仕込まれてあり、電磁石のオンオフで折れ曲がる部分を下に引っ張ったり離したりしているものと思われます。

お礼

うぉぉぉぉおお！！！
やられたぁぁぁぁあ！！
くやしい。すごいくやしい。gifアニメにだまされた！！！
あああああくやしい。くやしいよぅ。
ううぅぅぅ。アーガイルチェックのニットベストの人！！！
ずるいぞ！！

すみません。とりみだしました。
回答ありがとうございます。
たしかに。木の台の上の幅の広い銀色の台があやしい。
電磁石と電池と制御基盤入りそう。
梁とレールをつなぐヒンジ円筒の中に磁性体がありそう。
解答が正しいと思います。

電磁石無しで、動かないことを示すにはどう計算するといいですか?

補足

条件として
m<M でかつ、(L+l)m<LMのとき、梁は時計回り回転して不成立。
m<M でかつ、LM<(L+l)mのとき、梁は反時計回り回転する。
台座にレールの右端が触れてからモーメントのつりあいが
レールの右端を支点として、
レールの左端に上向きにMgの力による、レールのモーメントl・Mg
レールの上のどこに玉があってもレールのモーメントl2・mg
l2<=lで、かつ、m<Mなので、レールはかならず、時計回りに回転する。
回転するが、ヒンジの回転止めで止る。
玉はｌ2=ｌで停止。

M<mのとき。かつ、錘は吊り下げるのでなく、梁と一体とする。
梁、レールの重さは十分に軽いとする。
レールをM-m対mに内分する点がつりあいの点。

玉の落ちる量h
h=L・sinθ+l・sin(θ+5°)-l・sin5°

玉に掛かる力f
mg-Mg・L/(L+l・cos5°)

玉の加速度a
g{1-(M/m)・L/(L+l・cos5°)}

レールの右端が台座に触れるまでの時間t
(1/2)・at^2=h
t^2=2h/a

錘の受ける力F
-Mg+mg・(L+l・cos5°)/L

錘の受ける加速度A
g{-1+(m/M)・(L+l・cos5°)/L}

レールの右端が台座に触れた瞬間の錘の速度v
At

錘が上に上がるのに掛かる時間T
Tg=vより
T=v/g

錘が上に上がる量
vT-(1/2)・ｇT^2
At・At/g-(1/2)・g・(At)^2
(1/2g)・(At)^2

(1/2g)・A^2・2h/a
(1/2g)・g^2・{-1+(m/M)・(L+l・cos5°)/L}^2・2・{Lsinθ+l・sin(θ+5°)-l・sin5°}/〔g{1-(M/m)・L/(L+l・cos5°)}〕
ｇと2が消える。
{-1+(m/M)・(L+l・cos5°)/L}^2・{Lsinθ+l・sin(θ+5°)-l・sin5°}/{1-(M/m)・L/(L+l・cos5°)}

錘が上に上がる量が
レールが水平になるまでレールの左端が下がる量
l・cos(θ+5°)より大きくなるかどうか。

M=0.5、m=1,L=1,l=0.5にてエクセル計算すると、
θが25°のとき、l・cos(θ+5°)より大きくなることが分かった。
M=0.4に変えると、
θが15°のとき、l・cos(θ+5°)より大きくなることが分かった。
錘の重さと玉の重さで調節することができることがわかった。

M<mのとき
Algodooで適当シミュレーションしてみると、
(ソフトは適当ではないです。
条件が適当という意味です。
ソフトはすごくいい。ものすごく楽しい。)
Ｍ=1.4ｋｇ　ｍ=7.0ｋｇのとき、錘の勢いで、時計回りに梁が回転し、
レールが反時計回りに回転し、玉が左に転がり、
レールを0.8対0.2に内分する点を越えて
玉の位置がｌ2=0になることがある。
何回か繰り返すと、ｌになったりもする。
Mをさらに小さくすると、l2=0になる。
M=0.2m、L=2lの条件が分水嶺となる。
M<0.2mのとき、l2=0
0.2m<Mのとき、l2=ｌ
l2=lか、l2=0で止る
レールの左端を受ける台がないと
ずるずると台座からレールの右端が落ちる。

結局、間では止らなかった。
振動する解は無さそう。
シミュレーションの結果なので、
実物で実験すると別の結果の可能性が有ります。
0＜l2<lのどれかという質問本文の考えは誤りでした。

玉を重くすると、錘に運動エネルギーを与えられそう・・・な気がする動画。https://vine.co/v/MD3VZr25zKV

Algodooすごい楽しい。フリーソフト。
http://www.algodoo.com/

元になった動画はたぶん下記です。永久機関に関連する動画だった。
https://www.youtube.com/watch?v=_gAchuS8SyU

no2～5の決め付ける態度に反発して、考えを促進させてくれました。
反発する気持ちがおさまって、冷静になって、l2=lは正しいです。
でも、考えを進める効果は無かったです。
大きく考えを開かせてくれたno.1の回答を
ベストアンサーにします。

回答No.5

foomufoomu

かりに、凸凹のない球とレールがあって、レールは水平に置いてあった場合、球をレールに転がしただけで、ぴたりと中心点で止めることができますか？

球をレール中間の点で止めようと思ったら、その点より左に球が行けば、レールが左上がり右下がりになり、球が右に行けば、レールが右上がり左下がりになるような仕掛けを作らないといけません。
アニメに出てきたような単純な仕掛けでは無理です。おそらく動力も必須です。

お礼

レールがずーと水平ですと不可能です。正しいと思います。ただし、中心点というのは誤りです。梁のシーソーの支点の左側と右側の長さが同じL=Lで、M=2mの条件が要ります。そうすると、ｌ２＝1/2*lの場所が釣り合いの点になります。

でもレールが水平でなくて、右端の台座を支点にして、レールの左端が、水平からちょっと下、水平、ちょっと上、水平となるように梁の左端の錘が持つ、運動エネルギーで調節できないかな～と考えています。それは、初期値の玉が持つ位置エネルギーで調節できるはずです。動力無しです。玉を重くすると、錘に運動エネルギーを与えられそう・・・な気がする動画。https://vine.co/v/MD3VZr25zKV
計算上は有りなのでは?

たぶん、初期の梁とレールの角度を小さくして、レールの長さも小さくすると、レールが、水平からちょっと下、水平、ちょっと上、水平という風に動かせるはずです。

質問本文で初期の梁は水平でレールの角度を5°としています。玉が落下した分だけたくさん、梁が回転しないと、レールが、水平、左側を下、水平のように動いてくれません。

レールの右端が台座に触れるまで、玉が落下したときの梁の回転角度を-θ。
そこから、梁が-(θ+5°)回転すると、レールがθ回転して、5°回転して、レールが水平になる。h=(L+l)・sin(2θ+5°)-l・sin(θ+5°)
落下量を減らすとθも小さくなる。
錘の受け取れる運動エネルギーと台座の高さと梁の回転角の関係がもとまりそう。
レールの長さlを梁より長いほうがいいだろうか?
長いと、落下量が減る。長いと、錘の受ける運動エネルギーが増える。
同時にレールにどんな動きをさせられるかの限界も分かりそう。

回答No.4

foomufoomu

> 結論は、l2=lです。
はい、そのとおり。
それ以降の文は、意味の分からない言葉が多すぎて（たとえば、「回転規制の掛かった点」とはどこの事？）分かりません。

Ｌ２＝ｌになる理屈は簡単です。
アニメでは球が左に移動すると、徐々に大きなレール右端にかかる下向きの力が減るように見せてますが、
実際は球が左側に寄るほど、大きなレール右端にかかる下向きの力は大きくなります。
何かの動力をつかって動かさない限り、アニメのような運動は、１回もできません。

私は一瞬で直感的に気が付きました。ほんとに簡単なトリックですよ。

お礼

質問本文に書きましたm＜Mの条件ではl2=lになることが分かりました。
アニメのような運動は１回もできないことがわかりました。
磁石無しでも、レールの右端が台座から一瞬離れるくらいはできるのだろうか?
どんな計算になりますか?

また、条件を変えて、M<mの条件で、質問添付画像の状態になるか知りたいです。電磁石を使って、引力だけでなく、電流を逆に流して、斥力も使えば、gifアニメとしては成立するはずです。
レールの左端にMgの力。
レールのl2=(m-M)/m)・lの位置に玉。mgの力
レールの右端にNの力。垂直抗力
Mg-mg+N=0　力のつりあい。
Mg・L-mg・l2=0　レールの右端中心のモーメントのつりあい。

初期状態の玉をレールの右端においてから、添付画像の状態になるための条件を考えたい。

玉はhの高さを持つ。エネルギー保存則
mgh=Mgh+1/2・Mv＾2+1/2・m・(ｖ・(L+l)/l)＾２
これをとくと、レールの右端が台座に触れた瞬間の錘Mが上方への速度が出ます。
gifアニメでは錘がフックで釣り下がっていますが、そのままだと、錘がフックから外れるだけなので、条件を変えて、針金で、錘が梁についていて、錘の上方の速度を梁に伝える機構とします。

錘が上方へ移動した分だけ、梁が回転し、レールの左端が下に下がります。下がった量がうまくいくと、レールの傾きが、水平より左端が下になります。水平より左端が下になった状態は、錘の上方への移動量の時間グラフを、レールの左端の下方への移動グラフを、レールの回転角度に変換して、斜面を転がり落ちる力に変換して、2回積分すれば、玉の移動量が求まるはず。玉の移動量が、(m-M)/m)・lになるように、m、M、ｈ、lを調節すれば、玉が、途中で止れるはず・・・。なんじゃないかなぁ。

玉の移動量が、(m-M)/m)・lになるように、m、M、ｈ、lを調節すれば、玉が、途中で止れますか?

どんな計算になりますか?

元になった動画はたぶん下記です。永久機関に関連する動画だった。
https://www.youtube.com/watch?v=_gAchuS8SyU

回答No.3

foomufoomu

>ML=m(L+l)-N(L+l)でつりあうタイプが、no.2の回答です。
Nはおそらくレール右端の反力だと思いますが、この式は間違いです。
この式は、ヒンジでなく、一続きのレールの場合の式です。

ヒンジがあるときは、右側の短いレールの左端の支点反力で考えないといけないので、
R=m*(l-l2)/l (右側レールの左端の支点反力)
ML = L*R

この式では、球が左に来るほど(l2=0)、支持部から右側のモーメントが大きくなります。
アニメーションのように、左端に球があっても大きなレールが左回転する状態なら、絶対に短いレールが左下がりになることはありません。

お礼

結論は、l2=lです。質問本文0＜l2<lのどれかという考えは誤りです。
質問の添付図の梁が少し反時計回りに回転し、レールとの回転規制の掛かった点で止り、レールの左端がレールの右端より少し上がり、レールの右端が、台座に接し、玉はレールの右端で止ります。
理由はm<MとMgL<mg(L+l)とヒンジの回転規制です。もし、ヒンジの回転規制がないと、梁の右端でレールが鉛直に垂れ下がり、玉がl2=lの位置でレールの右端の壁に乗った状態になり、梁の左端の錘が床につきます。そうならないで、回転規制のため、梁の右端でモーメントがレールにつたわります。レールと玉の重さのモーメントが働きます。働きすぎる分を台座の垂直抗力が補います。つりあいます。

梁の中央支持の力をTとおく。
梁とレールの接合部の力をkと置く。
レールと接合部のモーメントをjと置く。
梁とレールそれぞれにつりあいを考える。
梁に掛かる力のつりあいの式
Mg+k+T=0　　----1
梁の右端の点でのモーメントのつりあいの式
Mg・(2L)-T・L-j=0　----2

レールに掛かる力のつりあいの式
-k+mg-N=0　----3
レールの左端の点でのモーメントのつりあいの式
j-mg・l+N・l=0　----4

3を変形してk=mg-N
1に代入してMg+mg-N+T=0
T=Mg+mg-N
2に代入して
2MgL-(Mg+mg-N)L-j=0
4よりj=mgl-Nl
代入して
MgL-(mg-N)L-(mgl-Nl)=0
MgL-(mg-N)(L+l)=0

MgL=(mg-N)(L+l)でつりあうのが答えです。

no.3の回答は、ヒンジの回転規制が働く場合と、働かない場合の区別が曖昧です。

梁が水平から反時計回りに、5°くらい回転して、レールがちょうど水平になって、m<Mの差をちょうど打ち消すくらいの中間点にいるときもつりあいます。
MgL=mg(L+l2)というパターンです。でもこれは、質問本文で
中央回転支持で、水平から時計回りのみ許す梁。と規制してるのでありえません。

m<MとMgL<mg(L+l)を調節して微妙な状態にできないか?
m<MでMgL=mg(L+l)だったら、mg(L+l2)<MgLで、l2=lになります。台座にレールが触れません。というか、玉を乗せても動きません。
M≦mだったら、l2=ｌになります。台座にレールが触れて支えます。

玉mの重さがMよりかなり大きいくて、梁の左の錘が玉からもらった運動エネルギーで上にすこし放り上げられて、梁の右端とレールの左端が水平よりさがったら、玉が動いて、レールの上をMgl<mg(l-l2)の場所まで転がれないと、l2=lの場所にもどります。Mgl<mg(l-l2)の場所まで転がると、gifアニメで、磁石で引っ張った位置でとまります。。Mgl=mg(l-l2)の場所でビダどまりできないか?

条件再確認
M<m
MgL<mg(L+l)
Mgl=mg(l-l2)
ヒンジ回転止めは働かない。てこが2つあるタイプ。梁の中央支持とレールの右端支持。
錘は吊り下げ出なく、針金で上下と回転を固定。
台座の高さを設計して、玉が0<l2=((m-M)/m)・lの場所でレールが水平になるように来るようにすれば、可能。
不明な条件は、錘と玉の運動エネルギーでどのくらいレールが回転するかを台座の位置の設計で玉が玉がl2=((m-M)/m)・lのタイミングで水平にすること。ずれると、どちらかに傾く。l2はlに近い値だろう。たくさん転がってる移動時間はない。錘がもらう運動エネルギーはどのくらいだろう。玉が台座に触れてから鉛直投げ上げが少しあるはず。mを大きくするほど、Mはたくさん投げ上げられる。レールはたくさん傾く。玉はたくさん転がる。l2はlに近づく。たぶん、解がありそう。

質問本文のm<Mの条件をM<mにすると、添付画像のように、l2<lが可能。ほとんどの場合、l2=0になる。でも間に止れるときがある。l2はきっとlに近い値。MとmとlとhとHであと、梁の回転角の初期値も。錘の投げ上げでレールの角度変化が水平よりちょっと行き過ぎて、斜面上の玉が転がりはじめて、水平に戻ったときにちょうど、ビダでl2=((m-M)/m)・lか。条件厳しいから解けそうだが。あ、しまった。錘は吊り下げられてるとだめだ。gifアニメではフックに吊り下げですね。針金で上下方向、回転方向に固定ですね。

回答No.2

foomufoomu

1番回答のように、何らかの動力が入っているのは、間違いないところですが
何も仕掛けがないとすると、最終的に球は右端で止まります。

このような直線ばかりで作られたものが、中間の状態で止まることは、まず考えられません。
よほどうまくバランスを取らないかぎり、球はどちらかに転がって端で止まります。

この装置では、左端で止まることはないので、右端しかありません。
右端へ球が転がり、右側のレールが下がりますが、ちょうどレール右端が地面についたところで、しかし、ヒンジが折れ曲がらない状態で、球はそこから左に転がらずに止まります。

お礼

梁の支持部の回転モーメントの計算
ML=m(L+l)-N(L+l)でつりあうタイプが、no.2の回答です。
N=〔m(L+l)-ML〕/(L+l)

右端しかないと決め付けるわけには行かない気がする。
梁の時計回りの回転で勢いがちょっとでも多くて、ヒンジの右側のレールが、水平より、反時計回りにちょっとでも回ると、玉は、すこし左に移動します。
移動すると、錘Ｍにより再度梁が、反時計回りに回転し、レールが水平につりあう可能性があるような気がします。

ML=m(L+l2)-N(L+l) 支持部中心の梁の回転のつりあい。
Ｍl=m（l-l2) 右端台座中心のレールの回転のつりあい。
Ｍ=ｍ(l-l2)/l
N=〔m(L+ｌ2)-ｍ(l-l2)L/l〕/(L+l)

レールの回転の釣り合いが無くて、レールがかならず、時計回りに回転する説明をしないとならないが、うまくいえません。
m<Mとｌ-l2<lで右端台座中心のレールの回転のつりあいが無いことが
言える感じだろうか。もうちょっとですっきりしそうです。