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留数 Res(1/(x-1)^2,1) の解き方
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x=1は1/(x-1)^2の2位の極であるのに1位の極としているのが原因です 2位の極の留数Res(1/(x-1)^2,1)の解き方 と1位の極の留数Res(1/(x-1),1)の解き方は違います x=aがf(x)のk位の極ならば Res[f(x),a]={1/(k-1)!}lim_{x→a}(d/dz)^{k-1}[{(x-a)^k}f(x)] だから x=1は1/(x-1)^2の2位の極だから Res[1/(x-1)^2,1] =lim_{x→1}(d/dz)[{(x-1)^2}1/(x-1)^2] =lim_{x→1}(d/dz)[1] =lim_{x→1}0 =0
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- jcpmutura
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#2です zをxに訂正します x=aがf(x)のk位の極ならば Res[f(x),a]={1/(k-1)!}lim_{x→a}(d/dx)^{k-1}[{(x-a)^k}f(x)] だから x=1は1/(x-1)^2の2位の極だから Res[1/(x-1)^2,1] =lim_{x→1}(d/dx)[{(x-1)^2}1/(x-1)^2] =lim_{x→1}(d/dx)[1] =lim_{x→1}0 =0
お礼
訂正部分、了解しました。 ご丁寧にありがとうございました。
- info222_
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>留数 Res(1/(x-1)^2,1) の解き方 1/(x-1)^2はx=1の周りでローラン展開された式だから 1/(x-1)の項が存在しないので、この項の係数が0でこの係数が定義により留数であるから Res(1/(x-1)^2,1) =0 となります。 >正しい回答は 0 のようなので、どこかで基本的な勘違いしているのだと思うのですが しばらく考えていても原因が分かりません。ご指摘いただけると嬉しいです。 留数の定義を教科書または参考書で確認ください。 定義によれば、ローラン展開の-1次の項の係数が留数です。 また >留数 Res(1/(x-1),1) の解き方 の場合は 1/(x-1)はx=1の周りでローラン展開された式だから 1/(x-1)の項の係数は1であり留数の定義によりこれが留数であるから Res(1/(x-1),1) =1 となります。 留数の定義を確認しておいてください。
お礼
ありがとうございます。 言われてみれば、と納得しました。 なんというか基本的なところを理解していない自分に気がつきました。。
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