留数定理の問題について質問です。

質問

J=∫[0,+∞]cosax/(x^4+1) dx (a＞0)を留数定理を用いて解く問題です。
まずはじめに、z=e^ix　とおいて、x^4+1=0の解を求めると、x1=e^i*(π/4)とx2=e^i*(3π/4)が当てはまります。
そこで、Res(x1)=e^(x1*i*a)/4x1^3,Res(x2)=e^(x2*i*a)/4x2^3が求められ、
J=2πi(Res(x1)+Res(x2))となると思うのですが、そこからうまくできずに困っています。
cosaxの"a"の使いかたが特によくわかってないので、教えてください。

回答No.2

alice_44

方針のみ。

留数定理を用いて解けというのだから、有名な
ガウス積分の計算法と類似の方法で処理できないか考える。

するとまず、被積分関数の |x|→+∞ での挙動が気に掛かる。
残念ながら、|x|→+∞ のとき |cos(ax)/(x^4+1)|→+∞ だから、
極を半円の積分路で囲んで留数定理一発…という訳にはいかない。

そこで、cosθ = { e^(iθ) + e^(-iθ) } / 2 を使って
被積分関数を分解してみる。
cos(ax)/(x^4+1) = (1/2)e^(iax)/(x^4+1) + (1/2)e^(-iax)/(x^4+1)。
a > 0 より、(Im x)→+∞ のとき e^(iax)/(x^4+1)→0、
(Im x)→-∞ のとき e^(-iax)/(x^4+1)→0 だから、これで
何とかなりそうである。
J1 = ∫[0,+∞] e^(iax)/(x^4+1) dx、
J2 = ∫[0,+∞] e^(-iax)/(x^4+1) dx と置く。
J = (J1 + J2)/2 である。

複素平面上、原点を中心とし、半径が r の円盤を実軸で二分割し、
上半平面内の半円を辿る反時計回りの閉路を C1、
下半平面内の半円を辿る反時計回りの閉路を C2、時計回りの閉路を -C2
と置く。
J1 = (1/2) lim[r→+∞] ∫[on C1] e^(iax)/(x^4+1) dx、
J2 = (1/2) lim[r→+∞] ∫[on -C2] e^(-iax)/(x^4+1) dx となるから、
二つの右辺の積分を、留数定理で処理すればよい。

r が十分大きいとき、留数定理より、
∫[on C1] e^(iax)/(x^4+1) dx
= (2πi){ res[exp(iax)/(x^4+1), (1/4)πi] + res[exp(iax)/(x^4+1), (3/4)πi] }、
∫[on C2] e^(-iax)/(x^4+1) dx
= (2πi){ res[exp(-iax)/(x^4+1), (5/4)πi] + res[exp(-iax)/(x^4+1), (7/4)πi] }
である。

以上を整理して、
J = (1/2)πi {　res[exp(iax)/(x^4+1), (1/4)πi]
　　　　　　　+ res[exp(iax)/(x^4+1), (3/4)πi]
　　　　　　　- res[exp(-iax)/(x^4+1), (5/4)πi]
　　　　　　　- res[exp(-iax)/(x^4+1), (7/4)πi]　}
と解る。

計算は任せる。

回答No.1

Ae610

J=∫[0,+∞]{cos(ax)/(x^4+1)}dx (a＞0)
方針のみ・・・！

∫[-∞,+∞]{exp(iax)/(x^4+1)}dx　・・・という積分を考える。
このときの留数は
∫[-∞,+∞]{exp(iax)/(x^4+1)}dx = 2πi・{res[(exp(iaz)/(z^4+1)) , α] + res[(exp(iaz)/(z^4+1)) , β]}
・・・で計算出来る。
（zを複素変数とするとz^4+1=0を満たす上半平面側のzの値をα、βとする）

∫[0,+∞]{cos(ax)/(x^4+1)}dx
= 1/2・Re｛∫[-∞,+∞]{exp(iax)/(x^4+1)}dx｝である。(Re{}は{}の実部を取る)

よって
∫[0,+∞]{cos(ax)/(x^4+1)}dx
= 1/2・2πi・{res[(exp(iaz)/(z^4+1)) , α] + res[(exp(iaz)/(z^4+1)) , β]}
で求められる。

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当方で計算してみたところ、
∫[0,+∞]{cos(ax)/(x^4+1)}dx
= π/2・exp(-a/√2)・cos(a/√2 - π/4)
・・・となった。
（検算は任せる・・・！）
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