集合の証明

質問

S={x∈Z|xを３で割ると余りが１}
T={x∈Z|xを３で割ると余りが２}
Q={x∈Z|xは偶数}
R={x∈Z|x^2を３で割ると余りは１}
M＝{x∈Z|xを６で割ると余りは５}
L＝{x∈Z|xは奇数}
J={x∈Z|xは６で割ると余りは１}
この時
＊１　
R⊂S∪Tを証明しなさい。（ただしS∪T⊂R については、証明されているものとする。）

＊２
T－Q＝Mを証明しなさい。

＊３
S∩L=Jを証明しなさい。

という問題です。
どなたか教えて頂けないでしょうか？
お願いします。

回答No.2

jcpmutura

*1
x∈R={x∈Z|x^2=3k+1,k∈Z}
とすると
x^2=3k+1,k∈Zとなるk∈Zがある
x^2-1=3k
(x-1)(x+1)=3k
だから
x-1=3n又はx+1=3nとなるn∈Zがある
x-1=3nの時
x=3n+1∈S={3n+1∈Z|n∈Z}…(1)

x+1=3nの時
m=n-1とすると
x=3n-1
x=3(n-1)+2
x=3m+2∈T={3m+2∈Z|m∈Z}
↓(1)又はこれから
x∈S∪T
↓(x∈R→x∈S∪T)だから
R⊂S∪T

*2
x∈T-Q={3m+2∈Z|m∈Z}-{2n∈Z|n∈Z}
とすると
x=3m+2,m∈Z
となるmがある
xは偶数でないから
xは奇数だから
x∈L={2j+1∈Z|j∈Z}
x=2j+1,j∈Z
となるjがある
x=3m+2=2j+1
だからn=j-m-1とすると
m=2(j-m-1)+1=2n+1
x=3(2n+1)+2
x=6n+5∈M={6n+5∈Z|n∈Z}
↓(x∈T-Q→x∈M)だから
T-Q⊂M…(2)

x∈M={6m+5∈Z|m∈Z}
とすると
x=6m+5,m∈Z
となるmがあるから
n=2m+1とすると
x=3(2m+1)+2=3n+2∈T={3n+2∈Z|n∈Z}…(3)

x=2(3m+2)+1∈L
xは奇数だから
xは偶数でない
↓(3)とこれから
x∈T-Q
↓(x∈M→x∈T-Q)だから
M⊂T-Q
↓{(2)とこれから}
∴
T-Q=M

*3
x∈S∩L={3k+1∈Z|k∈Z}∩{2m+1∈Z|m∈Z}
とすると
x=3k+1,k∈Z
x=2m+1,m∈Z
x=3k+1=2m+1
3k=2m
だから
k=2n,n∈Zとなるnがある
3k=6n=2m
x=6n+1∈J={6n+1∈Z|n∈Z}
↓(x∈S∩L→x∈J)だから
S∩L⊂J…(4)

x∈J={6k+1∈Z|n∈Z}
とすると
x=6k+1,k∈Z
となるkがある
n=2k
m=3k
とすると
x=3(2k)+1=3n+1∈S={3n+1∈Z|n∈Z}
x=2(3k)+1=2m+1∈L={2m+1∈Z|m∈Z}
∴
x∈S∩L
↓(x∈J→x∈S∩L)だから
J⊂S∩L
↓{(4)とこれから}
∴
S∩L=J

お礼

分かりやすい解説ありがとうございました！

回答No.1

f272

どれも明らかと言っておしまいにする程度の話です。

補足

もう少し詳しくお願いできますでしょうか？
すみません。