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論証 証明の仕方
命題 ｍ＋ｎ，ｍｎが共に偶数ならばｍ，ｎは共に偶数である が真であることの証明法を質問します。 逆の命題はｍ＝２ｋ，ｎ＝２ｌ（ｋ，ｌはともに整数）とおいてｍ＋ｎ＝２（ｋ＋ｌ），ｍｎ＝２×２ｋｌで証明終でしたが，上記のも直接証明できませんか？（ｌは小文字のエル） 対偶で ｍ，ｎの少なくとも片方が奇数ならばｍ＋ｎ，ｍｎの少なくとも片方は奇数である は 1)ｍが偶数ｍ＝２ｋ，ｎが奇数ｋ＝２ｌ－１（ｍｎは偶数だがｍ＋ｎは２ｋ＋２ｌ－１となるので奇数） 2)ｍ，ｎ共に奇数 ｍ＝２ｋ－１，ｌ＝２ｌ－１（ｍ＋ｎは偶数だがｍｎは４ｋｌ－２ｋ－２ｌ＋１となるので奇数） 3)ｍが奇数ｍ＝２ｋ－１，ｎが偶数ｎ＝２ｌ（1)と同様） としてそれぞれｍ＋ｎ，ｍｎを示せばよいのでしょうが，そうではない方法でお願いします。 ｍ＋ｎ＝２ｋ，ｍｎ＝２ｌとおいてｎを消去したらｍの2次式となってしまい，解の公式で解いたら ｍ＝ｌ±√ となり，偶数であることを示せませんでした。
- titetsu
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- 178-tall
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m+n = 2K, mn = 2L を連立させれば、m*(2K-m) = 2L 。 右辺をみるかぎり、左辺も偶数。 だが m が奇数じゃ、それは不成立。 …は「間接証明」なのですか？
m＝n＋kとおけばいいと思いますよ。m＋nが偶数であることから手を付ける方が楽みたいです。
お礼
回答ありがとうございます。
- ereserve67
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次のような証明ではだめですか． （証）m+nが偶数だから，ｍとｎの偶奇のパターンは ｍ，ｎ：「ともに偶数である」または「ともに奇数である」 となります．mnは偶数だから後者はありえない．すなわちm,nはともに偶数です．（終）
お礼
回答ありがとうございます
補足
ｍやｎが2の倍数と判る式（ｍ＝２ｋなど）で表せられないでしょうか。
- alice_44
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式は、m = K ± √(K^2 - 2L) ですよね？ K^2 - 2L の偶奇は、K^2 の偶奇と同じなので、 √(K^2 - 2L) が「整数であれば」、その偶奇は K の偶奇と一致します。 よって、K ± √(K^2 - 2L) は偶数です。 m + n = 2K, mn = 2L と置いただけでは、 m が整数になることは保証されないので、 別途「m は整数」と仮定してやる必要があるのでした。 平方数の偶奇がその平方根の偶奇と一致すること は、確認しておいてください。
お礼
回答ありがとうございます
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