集合と論証

質問

教えてください。

1. nが自然数のとき、命題「n2乗は偶数→nは偶数」が真であることを証明する。次の問いに答えなさい。

(1)この対偶をつくりなさい。
対偶「 → 」

(2)(1)でつくった対偶を利用して、もとの命題が真であることを証明しなさい。
［証明］nを正の( )とすると、mを( )として
n＝ ( )と表すことができる。
このときn2乗＝( )2乗＝( )＝2( )＋1
( )は( )であるから、n2乗は( )である。
したがって( )が( )であることが( )されたので、もとの命題も( )である。

2. √2-1が無理数であることを√2が無理数であることを用いて、背理法で証明しなさい。
［証明］√2-1が( )ではないと仮定する。
このとき√2-1は( )である。
a＝ ( )としてこの式を変形すると√2＝( ) となる。
ここでa,1はともに( )であるから
( )も( )である。よって√2も( )となり
√2が( )であることに( )する。
したがって√2-1は ( )ではないとした仮定が( )であり√2-1は( )であることが証明された。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

1.nが自然数のとき,命題「n^2は偶数→nは偶数」
(1)
対偶「nは奇数→n^2は奇数」
(2)
[証明]nを正の奇数とすると,mを自然数として
n=2m-1と表すことができる.
このときn^2=(2m-1)^2=4m^2-4m+1=2{2m(m-1)}+1
2m(m-1)は整数であるから,n^2は奇数である.
したがって対偶が真であることが証明されたので,もとの命題も真である.

2.√2-1が無理数
[証明]√2-1が無理数ではないと仮定する.
このとき√2-1は有理数である.
a=√2-1としてこの式を変形すると√2=a+1となる.
ここでa,1はともに有理数であるから
a+1も有理数である.よって√2も有理数となり
√2が無理数であることに矛盾する.
したがって√2-1は無理数ではないとした仮定が偽であり
√2-1は無理数であることが証明された.

お礼

ありがとうございます！助かりました。