∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxの解

質問

∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。ただし、eは自然対数の底、ｎは自然数とする。
これが解けなくてとても困っています。助けてください。
(1/3)x^3を微分するとx^2になることから、部分積分法で計算すると、
∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx=(1/3)e^3-(n/3)∫[1→e](x^2){(logx)^(n-1)}dx・・・・(1)
になりますよね？（計算が合ってる自信はあまりないです‥）また、n=1の時を考えると、
∫[1→e](x^2)(logx)dx=(2e^3+1)/9・・・・(2)
になりました。 (1)と(2)から、n=2の場合を考えると
∫[1→e](x^2){(logx)^2}dx=(1/3)e^3-(2/3)(2e^3+1)/9=(5e^3-2)/27・・・・(3)
になりました。(1)と(3)から、n=3の場合を考えると
∫[1→e](x^2){(logx)^3}dx=(1/3)e^3-(3/3)(5e^3-2)/27＝(4e^3+2)/27・・・・(4)
になりました。(1)と(4)から、n=4の場合を考えると・・・といったように繰り返し計算して、一般項を類推して、数学的帰納法で証明しようとしたのですが、肝心の一般項がうまく類推できません。一般項はなんだと思われますか？そもそもこの解き方で正解にたどり着けるのでしょうか？
もうひとつ質問があります。
ｎ→∞のとき、lim∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。
これも解けなくて困っています。一般項がわかれば自然と解けると思うのですが、上記のところで行き詰まっているので、この極限値も得られていません。これにも答えれ頂ければとても助かります。よろしくお願いします。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

ああ、 e^3を書き忘れていた... 正しくは
((-1)^n) (n!) (1/3)^n [ ((e^3 - 1)/3) + e^3 Σ(k = 1 to n) { ( ((-1)^k) (3^(k-1)) ) / (k!) } ]
です。少なくとも、n=1, 2の時は合うはずです。n=3以降の時は確かめてないけどきっと合うはず。

取り敢えず、この式の出し方は、問題の式を J(n)とすると、J(n) = (1/3)e^3 - (n/3) J(n-1)なので、両辺に((-1)^n) (3^n ) / (n!)をかけ、K(n) = J(n) * ((-1)^n) (3^n ) / (n!) ⇔ J(n) = K(n) * ((-1)^n) (n!) (1/3)^n とおいて整理すると

K(n) = {(-1)^n 3^(n-1) / (n!)} e^3 + K(n-1)

となるので、問題の式が得られます。
で、K(n)は不完全ガンマ関数を使うと
K(n) = e^3/3 (-1+(Γ(1+n, -3))/(e^3 n!)) とできるけど、だからと言ってなんというものでもないです。

お礼

J(1) ，J(2) ，J(3) が私が計算した結果と一致しました。ありがとうございます。
((-1)^n) (n!) (1/3)^n [ ((e^3 - 1)/3) + e^3 Σ(k = 1 to n) { ( ((-1)^k) (3^(k-1)) ) / (k!) } ]
に至るまでの計算も理解できました。これ以降の計算は自力でもう少し考えてみようと思います。

回答No.4

tmpname

> K(n)は不完全ガンマ関数を使うと
> K(n) = e^3/3 (-1+(Γ(1+n, -3))/(e^3 n!))

正確にはK(n) = K(0) + e^3/3 (-1+(Γ(1+n, -3))/(e^3 n!)) , K(0) = (1/3) (e^3 - 1)です

お礼

補足ありがとうございます。高校の数IIIまでしか習ったことがないので、不完全ガンマ関数についてほとんど何もしりませんでした。いい機会なので、一から学習してみます。

回答No.3

bran111

I＝∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx

t=logx

に置換するとx=e^t,dx=e^tdt

I=∫[0→1](e^(2t))t^ne^tdt=∫[0→1]e^(3t)t^ndt
={(e^3t/3)Σ(r=0,n)(-1)^r[n!t^(n-r)/(n-r)!3^r]}(0→1)
={(e^3/3)Σ(r=0,n)(-1)^r[n!/(n-r)!3^r]}-(-1)^nn!/3^(n+1)

∫x^ne^(ax)dxは不定積分が求められます。（岩波：数学公式I、ｐ153）

∫x^ne^(ax)dx=[e^(ax)/a]Σ(r=0,n)(-1)^r[n!x^(n-r)/(n-r)!a^r]+C

お礼

回答ありがとうございます。
I=∫[0→1](e^(2t))t^ne^tdt=∫[0→1]e^(3t)t^ndt
までは理解できたのですが、それ以降の計算がよくわかりませんでした。教えていただいた参考文献を取り寄せて読んでみます。

回答No.1

tmpname

∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxの一般項についてはおそらく出せない。
計算すれば
∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx = ((-1)^n) (n!) (1/3)^n [ ((e^3 - 1)/3) + Σ(k = 1 to n) { ( ((-1)^k) (3^(k-1)) ) / (k!) } ]
という結果が得られるけれども、残ったΣの部分が出せる気がしない。
例えば、1/1! + 1/2! + ..... + 1 / n! って簡単な形になりませんよね？

それより、
lim(n→∞）∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx
の方がはるかに簡単だけど、ひょっとして問題はこの極限を求めよ、というのではないのですか？
これなら x=e^tと置換積分すると
0≦∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx = ∫[0→1] (e^(3t)) t^n dt ≦ e^3 ∫[0→1] t^n dt = (1/n) e^3
だから、はさみうちで評価できますね。

お礼

回答ありがとうございます。
∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx = ((-1)^n) (n!) (1/3)^n [ ((e^3 - 1)/3) + Σ(k = 1 to n) { ( ((-1)^k) (3^(k-1)) ) / (k!) } ]
まで、計算していただいたんですが、ここまでの計算方法が私にはわかりませんでした。階乗はどこからでてきたのでしょう？∑の部分ですが、簡単な形にする方法は私にもわかりませんでした。これは一般項が存在しないわけではないですよね？高校数学の範囲で解けないだけで、大学以降の数学なら答えを求められるのでしょうか？もし、一般項が絶対に求められないとするなら、そのことを証明できるのでしょうか？疑問だらけですみません。
極限に関してですが、はさみうちの原理でlim(n→∞）∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx=0になる、とのことですが、これは理解できました。どうもありがとうございます。
一般項の件で、もっと詳しく知りたいので引き続き回答を受け付けます。

補足

∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx = ((-1)^n) (n!) (1/3)^n [ ((e^3 - 1)/3) + Σ(k = 1 to n) { ( ((-1)^k) (3^(k-1)) ) / (k!) } ]のｎに1，2，3，4を代入しても、私が求めたもの(質問本文中の(1)(2)(3)(4)のことです)と一致しないのですが、私の計算が間違っているのでしょうか？