• ベストアンサー

積分について

An=∫(1→e){X(logX)^n}dX (nは自然数)のときlim(n→∞)An=0を示せ という問題でハサミウチの原理を用いるのは分かるのですが評価の方法が分からないので教えてください。

  • MIBya
  • お礼率23% (8/34)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#171951
noname#171951
回答No.1

>ハサミウチの原理を用いるのは分かるのですが そのやりかたはすぐに思いつきませんでした。 他の方法でもよければ、 (d/dx)(logx)^(n+1)=(n+1)((logx)^n)/x を利用して部分積分で展開すると、A_n≧0により A_n≦e^2/(n+1)が得られます。 途中計算はご自分で確認してください。

その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

積分範囲をてきとうに 2つに分けてそれぞれ評価, かな?

関連するQ&A

  • 三角関数の積分でどこが間違っていますか

    nは自然数としてlim n→∞∫{0~nπ](e^-x・|sinx|)dx を解く問題です。0~πなら|sinx|の絶対値がとれるので∫{0~π](e^-x・sinx)dxを解いて(e^-x/2)+1/2、よって∫{0~nπ](e^-x・|sinx|)dx=n∫{0~π](e-x・sinx)dx と考えて∫{0~nπ](e-x・|sinx|)dx=n{(e^-x/2)+1/2}よってlim n→∞∫{0~nπ](e^-x・|sinx|)dx は∞。しかし答えは1/2・(e^π +1)/(e^π -1)です。よろしくお願いいたします。

  • ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxの解

    ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。ただし、eは自然対数の底、nは自然数とする。 これが解けなくてとても困っています。助けてください。 (1/3)x^3を微分するとx^2になることから、部分積分法で計算すると、 ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx=(1/3)e^3-(n/3)∫[1→e](x^2){(logx)^(n-1)}dx・・・・(1) になりますよね?(計算が合ってる自信はあまりないです‥)また、n=1の時を考えると、 ∫[1→e](x^2)(logx)dx=(2e^3+1)/9・・・・(2) になりました。 (1)と(2)から、n=2の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^2}dx=(1/3)e^3-(2/3)(2e^3+1)/9=(5e^3-2)/27・・・・(3) になりました。(1)と(3)から、n=3の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^3}dx=(1/3)e^3-(3/3)(5e^3-2)/27=(4e^3+2)/27・・・・(4) になりました。(1)と(4)から、n=4の場合を考えると・・・といったように繰り返し計算して、一般項を類推して、数学的帰納法で証明しようとしたのですが、肝心の一般項がうまく類推できません。一般項はなんだと思われますか?そもそもこの解き方で正解にたどり着けるのでしょうか? もうひとつ質問があります。 n→∞のとき、lim∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。 これも解けなくて困っています。一般項がわかれば自然と解けると思うのですが、上記のところで行き詰まっているので、この極限値も得られていません。これにも答えれ頂ければとても助かります。よろしくお願いします。

  • 定積分と極限(数3)

    【問題文】 正の整数nに対して、定積分Inを In=∫[0→1]x^ne^(-x^4)dx で定める。ただし、eは自然対数の底である。 【問】 (1)lim[n→∞]In=0であることを示せ (2)…… (3)……… ………………………………………………………… もう、(1)からわからないです 自分は、はさみうちの原理で考えるのだと思うのですが どのように挟むのかわからないです どなたか教えて下さい

  • 積分を含んだ数列、

    I(n)=∫[1->e](logx)^n dx とおくとき I(n)+nI(n-1) を求めよ、という問題でアプローチがわかりません 初項は I(1)=∫[1->e](logx)^1 dx = [1->e] (xlogx-x)=-1 第2項以降で躓いてしまいました。 I(2)=∫[1->e](logx)^2 dx パターンについて、ヒントがあればご教授ください。 注: I(n)のカッコ内のnは数列で使う添え字です。

  • 極限値

    lim<x→∞> (logx)^n/x (nは自然数)の問題ですが、これは答えは1ですか?0ですか?他にありますか?お願いします

  • 積分 問題

    積分 問題 ∫(x^n)logxdxを求めなさい。 ∫((1/n+1)x^n+1)´logx=((1/n+1)x^n+1)logx-∫((1/n+1)x^n+1)・logx´dx =((1/n+1)x^n+1)logx-∫((1/n+1)x^n+1)(1/x)dx =(1/n+1)x^n+1)logx-(1/n+1)(1/n+1)x^n+1 =(1/n+1)x^n+1(logx+(1/n+1))+C 答えは合っているでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • 積分・・・数列??

    この後、小問がいくつか続くのですが、まったく手がつかずどうしようもないので、アプローチの方法等を教えていただきたくて質問しました。私はfn(x)とfn+1(x)で漸化式を立てましたが、できず。 fn(x)のn階微分がlogxであると考えやってみましたが、無理でした^^;問題(一部)は以下のとおりです。 自然数nに対してfn(x)(x>0)を次のように定める。 f1(x)=∫(インテブラルの1~x)logt dt fn+1(x)=∫(インテブラルの1~x)fn(x) このとき極限An=lim(x→∞)fn(x)/(x^n・logx)の値をnで表せ。 以下略 よろしくお願いいたします。

  • 積分の問題です

    自然数nに対して、I(n)=∫[0→1](x^n)(e^-x^2)dxについて lim[n→∞]nI(n)を求めよ.という問題です。答えはe^-1です。 平均値の定理や不等式を用いたのですがうまくいきません。 教えて下さい。

  • 積分についての質問です。

    ∫(範囲:0~∞)(x^n*e^(-x)dx (nは自然数) この積分についての解き方を教えてください。

  • 微分積分の証明問題です。(再掲)

    こちらで質問させていただいた微分積分の証明問題ですが、 みなさんのアドバイスを参考に、自分なりに再度、解いてみました。 これで正しい証明になっているか、ご指導おねがいします。 【問題】 各自然数に対して、an=(n!/n^n)とおく。このとき、次の問に答えよ。 (1) 0 < an <= (1/n) (n=1,2,3,…)を示せ。 (2) 数列{an}の極限値を求めよ。 【(1)の回答】 n=1のとき、an=1, n=2のとき、an=(1/2), n=3のとき、an=(2/3)が成り立つ。 次に、n=kのときに成り立つと仮定する。即ち、 ak = k!/k^k <= (1/k)とする。 n=k+1のとき a(a+1) = ((k+1)!/(k+1)^(k+1)) = (k!/ (k+1)^k) < (k!/k^k) < (1/k) よって、k+1のときにも成り立つ。 以上から、数学的帰納法により、任意の自然数nについて 命題が成立することが示せる。 【(2)の回答】 はさみうちの原理により、 0 < lim{n→∞} an < lim{n→∞} (1/n) →0 ∴lim{n→∞} an = 0 以上、よろしくお願いします。