• ベストアンサー

lim(x→+0) {x(logx)^n} =0

nは自然数のとき lim(x→+0) {x(logx)^n}   の解き方がわかりません。 答えは,0になるとのことです。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)
回答No.1

数学的帰納法的に求めればいいでしょう。 1) n=1 の時 lim[x→+0] x(log x)=lim[x→+0] (log x)/(1/x) [-⧞/⧞型]なのでロピタルの定理を適用でき =lim[x→+0] (log x)' /(1/x)' =lim[x→+0]] (1/x)/(-1/x^2) =lim[x→+0] (-x) =0 2) n=k の時 lim[x→+0] x(log x)^k=0 ... (1) が成り立つとする。 n=k+1 の時 lim[x→+0] x(log x)^(k+1)=lim[x→+0] ((log x)^(k+1))/(1/x) [±⧞/⧞型]なのでロピタルの定理を適用でき =lim[x→+0] ((log x)^(k+1))' /(1/x)' =lim[x→+0] (k+1)((log x)^k)(1/x)/(-1/x^2) = -(k+1) lim[x→+0] (x(log x)^k) (1)より =-(k+1) * 0 =0 数学的帰納法により任意の自然数nについて lim[x→+0] x(log x)^n=0

math555
質問者

お礼

了解しました。なるほどで,納得しました。詳しく,ありがとうございます。

関連するQ&A

  • lim x→0 x^2logx^2

    lim x→0 x^2logx^2 って、このまま答え0でいいんですか? 正しい過程があれば教えてください。 お願いします。 

  • ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxの解

    ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。ただし、eは自然対数の底、nは自然数とする。 これが解けなくてとても困っています。助けてください。 (1/3)x^3を微分するとx^2になることから、部分積分法で計算すると、 ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx=(1/3)e^3-(n/3)∫[1→e](x^2){(logx)^(n-1)}dx・・・・(1) になりますよね?(計算が合ってる自信はあまりないです‥)また、n=1の時を考えると、 ∫[1→e](x^2)(logx)dx=(2e^3+1)/9・・・・(2) になりました。 (1)と(2)から、n=2の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^2}dx=(1/3)e^3-(2/3)(2e^3+1)/9=(5e^3-2)/27・・・・(3) になりました。(1)と(3)から、n=3の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^3}dx=(1/3)e^3-(3/3)(5e^3-2)/27=(4e^3+2)/27・・・・(4) になりました。(1)と(4)から、n=4の場合を考えると・・・といったように繰り返し計算して、一般項を類推して、数学的帰納法で証明しようとしたのですが、肝心の一般項がうまく類推できません。一般項はなんだと思われますか?そもそもこの解き方で正解にたどり着けるのでしょうか? もうひとつ質問があります。 n→∞のとき、lim∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。 これも解けなくて困っています。一般項がわかれば自然と解けると思うのですが、上記のところで行き詰まっているので、この極限値も得られていません。これにも答えれ頂ければとても助かります。よろしくお願いします。

  • nは自然数のときlim(x→0) x(log|x|)^n

    nは自然数のときlim(x→0) x(log|x|)^n の値はどうやって求めればいいんでしょうか? よろしくお願いします。

  • lim xsin[ log(x+1) - logx

    lim xsin[ log(x+1) - logx ] (x→∞) の解き方を教えて下さい。それと、関数の極限で覚えておくべき公式を教えて下さい。 lim (sinx / x) = 1 というのは公式ですか? (x→∞)

  • 極限値

    lim<x→∞> (logx)^n/x (nは自然数)の問題ですが、これは答えは1ですか?0ですか?他にありますか?お願いします

  • lim(X→0)sin(1/X)とlim(x→0)cos(1/X)って何ですか?

    f(X) =X^2sin(1/X) (X≠0)     =0        (X=0) (1)f’(0)を求めよ。 (2)f’(X)はX=0で連続であるか という問題なのですが、(1)は解けたのですが、(2)が分かりません。 f’(X)を求めようと思ってf(X)を微分しました。 f’(X)=2Xsin(1/X)-cos(1/X)  となりました。 そしてlim(X→0)f’(X)を求めればいいのかと思ったのですが、 lim(X→0)sin(1/X)とlim(x→0)cos(1/X)が分かりません。 (2)の答えは『lim(X→0)f’(X)は存在しないため、連続ではない。』なのですが、lim(X→0)sin(1/X)とlim(x→0)cos(1/X)が存在せず、(1)で求めた数とは一致しないため連続ではないという考えでいいのでしょうか? お願いします。

  • logxの微分がわからない

    (logx)' =lim[Δx→0]{(log(x+Δx)-logx)/h}のあと、どう考えて log(1+Δx/x)というようにΔxとxを一ヶ所にまとめようと思ったのでしょうか? あと、このときxとかΔxは定数?みたいに考えればいいんですか?? 教えてください。。

  • lim(x→0) (1/x-1/tanx)

    lim(x→0) (1/x-1/tanx)=lim(x→0) (1-1/(sinx)^2)=1 と解きました。友達は写真のように解きました。答えが違ってしまいました。何が間違っていますか?

  • 【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(

    【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(n^2+1))} ただしnは自然数とする。 ≪自分の解答≫ lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n](k/√(k^2+1)) =lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n]{(k/n)/√((k/n)^2+1/n^2)} というところまで やってみたのですが… どうしたらいいでのしょうか??

  • ∫<x=0~1> (logx)^n dx = (-1)^n・n! の証明

    ∫<x=0~1> (logx)^n dx = (-1)^n・n! が成立すると聞いて 証明しようと思ったのですが、証明法が分かりません n=1,2,3を入れ、各場合で積分すると、確かに成立するなぁ…ってくらいしか分かりません。 どなたか教えてください。