電圧の位相差

質問

写真の回路の電圧伝送比V2/V1は[F]パラメーターを作って計算する事により、
V2/V1=1/[1-{(3+(2/a))*(ω^2)*(C^2)*(R^2)}+jωCR{3+(2/a)+(1/(a^2))-(ω^2)*(C^2)*(R^2)}]
となる。ここで、V1とV2の位相差が180°になる時の周波数を求めよ。

答え 上のV2/V1の式において分母の第2項の括弧内が0になる時、実部が負になり位相差は180°になる。従って、 f=√{(3+(2/a)+(1/(a^2)}/2πCRとなる。

※質問です。
答えの周波数fより、角周波数はω=2πf=√{(3+(2/a)+(1/(a^2)}/CRとなっているので、答えの『分母の第2項の括弧内』とは、V2/V1の式の分母における虚部の括弧内の事を指しているのだろうと思います。

問題のV2/V1の式の分母の第2項(恐らく虚部)の括弧内を0にすると、
V2/V1=1/{1-(3+(2/a))*(ω^2)*(C^2)*(R^2)}となり、答えにはこの式が『負の実部』となっている様に書かれています。
しかし、この式1/{1-(3+(2/a))*(ω^2)*(C^2)*(R^2)}は本当に"負"の値となっているのでしょうか？

ここで(V2/V1)=r*(e^jθ)と置いてθ=πを代入すると、虚部は消えてV2/V1= -r という"負"の実部のみの式が出てきます。
しかしV2/V1=r*(e^jθ)のθをθ=0や2πとおいてもV2/V1=r(虚部=0で"正"の実部のみ)となると思います。ですので虚部=0と置いただけでは、実部が負になるかどうか分からないのではないかと考えています。

回答No.2

bogen55 · ベストアンサー

周波数特性の描きかたですが、横軸の周波数は対数目盛にします。
縦軸のレベルは直線目盛(=|V2/V1|)でも良いんですが、dB目盛(=20log|V2/V1|)が一般的です。
RとCは正規化して1Ωと1Fとし、aは1、√10、10くらいに変化させてみたらどうでしょうか？

なお、この手の周波数特性のグラフをボーデ(Bode)線図と呼びます。
ボーデは負帰還増幅器の設計理論を確立した人で、「Network Analysis and Feedback Amplifier Design」の著者です。
https://archive.org/download/NetworkAnalysisFeedbackAmplifierDesign/Bode-NetworkAnalysisFeedbackAmplifierDesign_text.pdf

回答No.6

178-tall

>※質問
> … 実部が負になるかどうか分からないのではないかと考えています。

この疑問に対する答案はおそらく、少なくとも「実部を勘定してみなきゃ判らん」でしょうネ。

V2/V1 の「実部が負になるかどうか」を知るには、arg(V2/V1) を知らねばならぬ。
それには「虚部と実部を勘定」する必要がありそう … ですから。

回答No.5

178-tall

>ω≠0で虚部が0になる時、実部が負の値をとる事が確認できました。

ANo.3～4 は説明の順序を乱してました。

「ω≠0で虚部が0になる時」とは、arg(V2/V1) がπの整数倍になるとき。

その場合、(V2/V1) が負になるのは、arg(V2/V1) がπの奇数倍になるとき、
… を先に記すべきでした。

蒙御免。

お礼

ご指摘の通り、arg(V2/V1)=nπ(n=1,2,•••)の時虚部は0になり、この内nが奇数の時は虚部は負の値をとります。教えていただきありがとうございます。

回答No.4

178-tall

蛇足を…。

この例では V1/V2 が、
　 3
= Π(p+ak)
　 k=1
のスタイル。

極形式なら、
　V1/V2 = (Πrk) * e^(Σθk)
のスタイル。

位相差 180 deg の周波数では、e^(Σθk) = -1 だろうから、V1/V2 は非正の実数 (≦0 ) 。

回答No.3

178-tall

確かに I2=0 のとき (p=jωCR として) 、
　V1/V2 = { (3+2/a)p^2 + 1 } + p{ p^2 + (3a^2+2a+1)/a^2 }
となりそう。

右辺 2 項目の (非零の) 零点 p^2 = -(3a^2+2a+1)/a^2 にて、右辺 1 項目の値をみると？
　-(3+2/a)(3a^2+2a+1)/a^2 + 1 = -(3a+2)(3a^2+2a+1)/a^3 + 1 < -9a^3/a^3 + 1 = -8
らしく、実部は負。

お礼

この度も回答していただきありがとうございます。
ω≠0で虚部が0になる時、実部が負の値をとる事が確認できました。

回答No.1

bogen55

> 虚部=0と置いただけでは、実部が負になるかどうか分からないのではないかと考えています。

なぜ「分からないのではないかと考えています」とゆうことになるのかわからないのですが、なぜでしょう。
もしかすると質問者は、V2/V1を横軸を周波数に取った周波数特性を描いたことがないのでしょうか？
一般に、周波数特性の縦軸はレベル【=|V2/V1|】と位相【arg(V2/V1)】に取ります。
問題のV2/V1の周波数特性は、周波数f→0で位相が0°に限りなく近づきレベルは1倍に限りなく近づきます。
f→∞で位相が270°に限りなく近づきレベルは0倍に限りなく近づきます。
言い換えれば位相θの変化範囲は、0°<θ<270°です。
とゆうことで、虚部=0と置けば、実部が負になるすなわち位相が180°になるわけです。
とにかく、1次、2次、3次のV2/V1周波数特性を描く訓練をだまされたと思ってやってみることを薦めます。

お礼

大変分かりやすく説明していただきありがとうございます。
おっしゃる通りV2/V1の周波数特性のグラフを書いた事も見た事もなく、一度自分で試しておくべきでした。

そのグラフの書き方についてですが、横軸は周波数(対数目盛り)という事で分かりました。
一方縦軸には|V2/V1|とarg(V2/V1)と2つの要素がありますが、どのように軸をとったら良いのでしょうか？球座標を描けば良いのでしょうか？

正しいかどうかちょっと分かりませんが、
問題のV2/V1の式のa, C,Rを全て1にして、式を実部と虚部に分解し、複素平面上に縦軸V2/V1の虚部, 横軸にV2/V1の実部をとりωの値を、0.000001~0.01~0~0.8~1~2~√6~100~10,000のようにいくつか変化させてV2/V1の点を取ってみました。すると虚部が0になったのはω=0とω=√{(3+(2/a)+(1/(a^2))}=√6 (a=1),の2点のみで、他は全て負の虚部をもっているようです。
ω=0の時はV2/V1=1となり、ω=√6の時は答えの通り実部が負になっていました。
そしてωを100,10,000~と大きくしていくと、本当にarg(V2/V1)=270°のほぼ0付近に近づいていくようです。