電気回路の問題について

質問

電気回路の問題について質問させていただきます。

[問題]
図の電圧源Ｖで駆動される交流回路において、端子l-l'から見た電流iの力率が1となるようにインダクタンスの値Lを調整する。
正角周波数ωは一定、インダクタンスの大きさはL、コンデンサの大きさはC、低抗の大きさはRとする。

(1) 端子l-l'片右側を見込んだインピーダンスZを求めよ。
(2) 力率が1となるようなLを求めよ。
(3) 上記の条件のとき、抵抗がR=ωLを満たすと仮定する。ZをRの関数として求めよ。

(1)および(2)はおそらく解けたと思います。
私の答えは

(1) Zin = R/(1+(ωCR)^2) + jω(L-CR^2/(ωCR)^2)
(2) L = CR^2/(ωCR)^2

(2)の問題に関しまして、力率が1とは電流と電圧の位相差が0ということなので、
Zinの虚部が0になれば位相差が0になると考え、虚部の

ω(L-CR^2/(ωCR)^2)=0

をLについて解き答えを出しました。

(3)はZのR以外の記号を含んでしまい、うまく解くことができませんでした。
(3)に関してわかりましたら、解説いただければと思います。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
　Zin=jωL+1/{(1/R)+jωC}
　 =jωL+R/(1+jωCR)
どこまで式を整理するかは指定ないので
Zinの式は一通りには限定されません。

> Zin = R/(1+(ωCR)^2) + jω(L-CR^2/(ωCR)^2)
この式は間違いです。下の(2)の(A)のようになります。

(2)
(1)のZinを実数部と虚数部の和の形に変形する。

　Zin=jωL+R(1-jωCR)/{1+(ωCR)^2}
　 =R/{1+(ωCR)^2} +jω[L-(CR^2/{1+(ωCR)^2})]　…(A)

力率=1となる条件はZの虚数部=0であるから
　L-(CR^2/{1+(ωCR)^2})=0 …(B)

　∴L=CR^2/{1+(ωCR)^2} …(C) ←(2)の答え

> L = CR^2/(ωCR)^2
これは間違い。

(3)力率=1の条件で R=ωL　…(D)のとき
(A),(B)より
　Z=R/{1+(ωCR)^2}

これ以上簡単になりません。

(D)の条件式が何の役割もしていません。
問題が正しいか、確認してみて下さい。

お礼

回答いただきありがとうございます！
やはり問題文にはこのように書いてありました(汗)
私も計算ミスを直して、解きなおしてみたところ、
info22様と同じ答えになりましたので、これであっているのではと思います。

回答No.3

178-tall

訂正。<　>

Z = sL + {R/(1+sCR)} = {sL(1+sCR) + R}/(1+sCR)　　　…(#)
　分母を実数化して、
　= [sL{1-(sCR)^2} + R(1-sCR)]/{1-(sCR)^2}
　分 <子> の虚部は
　sL{1-(sCR)^2} - sC(R^2) = s[{L-C(R^2)} - L(sCR)^2]　　　…(*)
　これを零にできれば、力率 = 1 。

お礼

回答いただきありがとうございました！
私の計算が間違っていたみたいです(汗)
大変参考になりました!

回答No.1

178-tall

s = jω と略記してみる。
　Z = sL + {R/(1+sCR)} = {sL(1+sCR) + R}/(1+sCR)　　　…(#)
　分母を実数化して、
　= [sL{1-(sCR)^2} + R(1-sCR)]/{1-(sCR)^2}
　分母の虚部は
　sL{1-(sCR)^2} - sC(R^2) = s[{L-C(R^2)} - L(sCR)^2]　　　…(*)
　これを零にできれば、力率 = 1 。

(*) にて s=0 以外の零点では、
　{L-C(R^2)} - L(sCR)^2 = 0
が成立するなら、
　{L-C(R^2)} + L(ωCR)^2 = 0
　L{1 + (ωCR)^2} = C(R^2)
　これを満たす L は、
　L = C(R^2)/{1 + (ωCR)^2}　　　…(**)
かな？

(**) が成立するとき、R=ωL を満たすとすると、
　R = ωL = ωC(R^2)/{1 + (ωCR)^2}
だから、(#) に入れれば、
　Z = jR + {R/(1+sCR)}
　= jR + R - jR = R
になるだけ？