過渡回路 sとjω

質問

添付した回路図において「V1(t)にどんな波形を加えてもV2(t)がV1(t)の1/n（実数）倍になるような条件を求めよ」という問題なのですが、

模範解答は
回路をラプラス変換してV1(s)とV2(s)の比をとる。（つまり分圧の法則によって伝達関数 V1(s)/V2(s) を求める）
そしてｓ→jωとおいてその比の分数を計算すると実部と虚部（●＋ｊ▲）が現れ、V1(s)/V2(s)＝1/nなので、虚部▲＝０と置いて、実部●＝1/nを解けば、ｎ＝R１、R2のみの式になる→R１、R2を仮定したｎの値になるよう調整すればよい。（終）

ここで疑問が２点あります。ひとつはｓ→ｊωです。ｊωと置けるのは電圧が周期的な変化、つまり正弦波で変化する場合に限られるものだと私は思ってますが、問題は「どんな波形を加えても」なので、正弦波以外もありえるわけですよね？どうしてｊωを代入してもいいのですか？
次に、解答では、実部●＝1/nという方程式のみを解いてました。しかし、虚部▲＝０としたわけですから、この二つの式を連立して解かなければならないのではないか、思います。しかし解答では単に実部●＝1/ｎを解いているので結果もｎ＝R１、R2だけの結果です。
もし私の言うように連立するとｎにはRとCの両方が現れてきます。もし私だったらそうしてしまうと思うのですが。。

わかりやすく教えていただければ幸いです！よろしくお願いします。

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

>a = kc,「かつ」 b(ω) = kd(ω)→k=a/cとk=b(ω)/d(ω)の２式が出ますね。この２式を連立してやるひつようはないのですか？

「かつ」は連立のつもり。

>問題は「どんな波形を加えても」なので、正弦波以外もありえるわけですよね？どうしてｊωを代入してもいいのですか？
　　↑
これでしょうか？

「正弦波以外もありえるわけです」が、正弦波を重み付け加算したものです。
「どんな波形を加えても」を「どの周波数においても」と読みかえれば良いのでしょう。
本問では、分圧比を「周波数によらない」形にできるようです。

分圧比は {a + jb(ω)}/{c + jd(ω)} の形ですよね。

回答No.3

imoriimori

既に適確なご回答がお二人から出ているので補足と言うことで。

ｓ→ｊωについては、
元の波形がどうであってもオシロで見るような具体的な波形はフーリエ級数展開できる。要するに多様な周波数の正弦波の和に分解できる。各周波数の正弦波が全て１／ｎになればそれら合成は元の波形の振幅を１／ｎにしたものだ。ということから来ています。（Tacosan様の説明を私流に焼き直しただけ）

「実部●＝1/nという方程式のみを解いてました。しかし、虚部▲＝０としたわけですから、この二つの式を連立して解かなければならないのではないか」
そうです。これは178tall様の式でｋを複素数でなく実数とすることに相当します。（178tall様もそのおつもりのはずです。）

「k=a/cとk=b(ω)/d(ω)の２式が出ますね。この２式を連立してやるひつようはないのですか？」必要はあります。178tall様の簡潔な式は、ｋ（元の設問では1/n)を消去して任意の分圧値ではあるが波形がちゃんと保持される条件としてまとめられたものです。任意の分圧値ではなくて１／ｎと決めたらa = kc, かつ b(ω) = kd(ω)　で良いのです。

ちなみに、本問題の具体例はオシロスコープの１０：１プローブですね。電気系の講義では必ず取り扱うと言っていい種類です。

回答No.2

Tacosan

前者については「入力 (と出力) がフーリエ展開できる」という仮定が必要ですが, 「任意の ω について成り立つ」という形で式を処理すればいいはず. といっても, 結局は「単にインピーダンスの比を計算している」だけのような....
あと後者だけど.... う～ん, 確かに C1, C2 を任意にしてはまずいような気がします. とはいえ, ここでは「n を R1, R2, C1, C2 で表す」のではなく「R1, R2, C1, C2 と n の関係 (2本)」でいいはずで, これは気づけば簡単なはず.

回答No.1

noname#101087

まず、{a + jb(ω)}/{c + jd(ω)} がωに依らない定数k になる条件を考えてください。
　{a + jb(ω)}/{c + jd(ω)} = k
　{a + jb(ω)} = kc + jkd(ω)
　　　　↓
　a = kc, かつ b(ω) = kd(ω)

つまり、
　a/c = b(ω)/d(ω)
ですね。

お礼

ありがとうございます。
えー・・すみません回答がシンプルすぎてよくわからないです。。

a/c = b(ω)/d(ω)になることはわかりますが、、、
結局は実部＝1/nのみでとけばいいということなんですか？
a = kc,「かつ」 b(ω) = kd(ω)
→k=a/cとk=b(ω)/d(ω)の２式が出ますね。この２式を連立してやるひつようはないのですか？「かつ」という表現をつかってるくらいですから。

それと、質問で書いたように、ラプラス変換した時に出てくるｓにｊωを代入してよい理由も知りたいのですが・・。