どうして=と直角が対応するのでしょうか?

質問

三平方の定理が成り立つのはどうしてかを考えてしまいました。

2つの数のそれぞれの2乗の和が3つ目の数の2乗に等しいとき
3つの数の大きさと等しい長さの3辺で作る三角形は直角三角形になります。

2つの異なる正方形があって、一方が他方に内接する図において
4つの合同な3角形と小さい方の正方形の面積の合計が、大きい正方形の面積に
等しいのことで三平方の定理の証明がされています。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3pita02.htm

図を描く。
辺の長さを数とする。
面積を計算する。
面積が等しい。
展開して2abを消去する。
ということで、直角三角形の3つの辺の長さの関係がおお！そのとおりだ！と分かります。
でも、なにか、抜けている説明がある気がするのです。

うまくいえないので比喩で表現します。
手に持ったコップがあって、手を離すと、下に落ちます。
それは重力があるからです。
でも、重力ってどうしてあるの?
というような感じです。つたわりません。

3つの数(a,b,c)の組み合わせがあって、a^2+b^2=c^2を満たすときだけ、
a,b,cの長さの辺の直角三角形になります。

a^2+b^2<c^2かつa+b>cのときは鈍角三角形
a^2+b^2>c^2かつa-b<cかつb-a<cのときは鋭角三角形
a+b<cやa-b>cやb-a>cのときは三角形ができません。
＝のときだけ、直角三角形になります。

問いたいことは、
どうして、a^2+b^2=c^2と直角三角形が対応するのでしょうか?
どうして、=と直角が対応するのでしょうか?
どうして、a+b<cやa+b<cやa-b>cやb-a>cは書けるのに、三角形は描けないのでしょうか?
です。

もしかして、X-Y座標平面上で2点D(d1.d2),E(e1,e2)を描いて
辺の長さを[(d1-e1)^2+(d2-e2)^2]^(1/2)と
計算することに決めたからでしょうか?

数と計算の全部　と　線と角度と作図の全部　を　いい感じに対応させるとき
a^2+b^2=c^2　と　直角三角形　が　対応ってことにするのが調子がいいいんだ！
みたいな答えがあるような気がしています。

回答No.2

hg3 · ベストアンサー

＞どうして、a^2+b^2=c^2と直角三角形が対応するのでしょうか?
＞どうして、=と直角が対応するのでしょうか?
a^2+b^2=c^2と直角三角形が対応しているわけでもないし、＝と直角が対応しているわけでもない。

文章の意味を良く考えて下さい。
「a^2+b^2=c^2が成り立つ時、その三角形は直角三角形である」
と言っているのであって、数式と直角三角形が対応するとは言っているのではありません。
（そもそも、”対応”ってのが意味わかんないし。）

例えば、
「X=Yが成り立つ時、X+100=Y+100である」
というのは誰でも分かる簡単なことですね。

この時、
「どうして　XとX+100が対応するのか？」
とか、
「どうして　＝と100が対応するのか？」
って質問されたらどう思いますか？
何わけの分からないこと言っているのって思いませんか。

あなたのご質問は、これと同じです。

お礼

回答ありがとうございます。

数式と直角三角形が対応するとは言っていないのですね。

a^2+b^2=c^2が成り立つ時、その三角形は直角三角形である
のはどうしてですか？

aとｂとｃは　、の左側では数、右側では辺の長さです。
aとbとcが左側と右側でちがうことなのはどうしてですか？

XとX+100は数と数なので同じものです。
=と100はちがいます。=は数ではないです
と思います。

私の質問は何わけの分からないことかもしれませんね。

補足

あーーわかったー。
数と辺に同じことが成り立つからです。

数の大きさと辺の長さは同じか、違うか分かります。
１より3が大きいし、-より━が長いです。

数は足して、別の数になり、辺は継いで別の辺になります。
1と3で4だし、-と━で‐━です。

だから、3つの何かの組(a,b,c)があって、

a+b>cかつb+c>aかつc+a>bであるような数の組(a,b,c)と
端点をそれぞれくっつけて三角形が作れる辺の組(a,b,c)
同じことが成り立つんです。

とすると
a^2+b^2=c^2であるような数の組(a,b,c)と
辺の端点をそれぞれくっつけて直角三角形が作れる組(a,b,c)
で同じこととして成り立つんでしょうたぶん。

たぶん2乗に対応するのは正方形の面積なんです。
たぶん掛け算に対応するのは面積なんです。

3平方の定理で作図でなく、面積計算が突然始まるのはそのせいです。
幾何学の定理のふりをして、定規とコンパスのふりをして、
面積を足す計算がでてくるのが引っかかりポイントなのでした。

a^2+b^2=c^2と直角三角形が対応するとすると、
a^2+b^2-2*a*b*cosC=c^2と三角形に対応します。

だから、=と直角が対応するのではないです。
余弦定理のcos(π/2)と直角三角形の直角が対応するんです。

おーすばらしい。

というような答えが出る質問がしたかったのです。
タイトルは　どうしてcos(π/2)と直角が対応するのでしょうか?　
になるはずなのでした。

何わけの分からないことを言っておりました。すみません。
答えの大きなヒントになったのでベストアンサーにいたします。

でも、負の数は？　2乗した数と数を足すのは?　割り算は幾何の何に対応?
という疑問はありますが、数と辺に同じことが成り立つうちの、
2乗同士の数を足すと面積を足すには関連しないのでそっとしておきます。
たぶん、数は1次元な感じだが、辺は2次元な感じでも実は一緒。
みたいになります。

たぶん、数学の人がいい説明をしているはずですが、うまくみつかりません。
no.3の方の回答にあるように、ユークリッドの原論を読めばいいかもしれません。

回答No.3

myuki1232

ピタゴラスの定理は、ユークリッド幾何学の第5公準（平行線公準）と同値であることが知られています。
つまりピタゴラスの定理は、ユークリッド幾何学の公理から導き出されるというだけではなく、定義の一部と言ってもいいわけです。
ピタゴラスの定理の証明がなんだか釈然としない感じがするのは、必ずしも自明ではないことを仮定の一部として使っているので、当然といえば当然と言えます。
例えば正方形を使った証明の場合、「正方形の内角はすべて90度である」というのが自明でない仮定になります。
それが成り立たない場合を考えたのが、非ユークリッド幾何学になります。

お礼

どうもです。

釈然としない感じは正方形の内角はすべて90度であるをこっそり使ってるから
ですか。

問いに対して、正しい答えなんだろうと思います。
でも、知りたいことにズビッと来ませんでした。

ごめんなさい。

回答No.1

kagakusuki

下記のURLのページの一番上の所には、

>展開して2abを消去する。

という操作を使わない方法による証明が掲載されていますが、こちらの方法でもまだ疑問を覚えられますでしょうか？

【参考URL】
　熊本国府高校 > 旧ホームページ > 楽々数学 > 三平方の定理とピタゴラス
　　http://www.kumamotokokufu-h.ed.jp/kokufu/math/pythag.html

お礼

回答ありがとうございます。

大きな正方形の中に2つの正方形を描くやり方
大きな直角三角形の中に相似な小さな三角形を描くやり方
直角三角形とその内接円を描くやり方
台形の中に３つの直角三角形のやり方
折り紙
が示されています。

という回答も可能ですね。
問いが明確にできていませんでした。
自力でうまく問えないようです。
ごめんなさい。

しかしながら
でも、展開して2abを消去するやり方も成立します。
やっぱり疑問を覚えます。

幾何学と計算が対応部分があるのは何で？
幾何学と計算が対応しない部分があるのは何で？
幾何学が成立するのは何で？

という問いの答えが知りたいようです。