留数が射影行列となる事の証明が

質問

宜しくお願い致します。

A∈C^{n×n},Iはn次単位行列,λjはAの固有値,j=1,2…,k≦nでγ_jはλ_jのみを内部含むJordan閉曲線とする時,
λ_jは(zI-A)^-1の極となっているので
Res_{z=λ_j}[(zI-A)^-1]=1/(2πi)∮_{γ_j}(zI-A)^-1dzが成り立ちますよね。
この時,更に,
P_j=1/(2πi)∮_{γ_j}(zI-A)^-1dzも成り立つそうなのですがどうすれば示せますでしょうか?
(但し,Σ_{j=1..k}P_j=I, Σ_{j=1..k}λ_jP_j=A)

回答No.8

jcpmutura

(zI-A)^{-1}=Σ_{h=1～k}{1/(z-λ_h)}P_h
を証明するために
行列(P_h)の性質として
l≠hの時(P_l)(P_h)=0
を追加する必要があります。

スペクトル分解定理で
Σ_{h=1～k}P_h=I
Σ_{h=1～k}(λ_h)(P_h)=A
に加えて
l≠hの時(P_l)(P_h)=0
が証明されているならよいですけれども
そうでないならそれを証明する必要があります。

A を n 次正方行列とし,行列 A の最小多項式を f(λ) で表す.

Res_{z=λ_j}[(zI-A)^{-1}]={1/(2πi)}∫_{γ_j}(zI-A)^{-1}dz

f(λ) が重複因子を持たないとする.
Aは対角化可能
スペクトル分解定理
から
f(λ)=0 の相異なる解(Aの固有値)λ_h(h=1,2,～,k ただしk≦n)
に対して
Σ_{h=1～k}P_h=I
Σ_{h=1～k}(λ_h)(P_h)=A
l≠hの時(P_l)(P_h)=0
を満たすn次正方行列 P_h が存在し
I=(Σ_{h=1～k}P_h)^2=Σ_{h=1～k}(P_h)^2
I=Σ_{h=1～k}(P_h)^2
となる
zI-A=Σ_{l=1～k}(z-λ_l)P_l
だから
(zI-A)Σ_{h=1～k}{1/(z-λ_h)}P_h
=[Σ_{l=1～k}(z-λ_l)P_l][Σ_{h=1～k}{1/(z-λ_h)}P_h]
=Σ_{l=1～k}Σ_{h=1～k}{(z-λ_l)/(z-λ_h)}(P_l)(P_h)
↓l≠hの時(P_l)(P_h)=0だから
=Σ_{h=1～k}(P_h)^2
=I
だから
∴
(zI-A)^{-1}=Σ_{h=1～k}{1/(z-λ_h)}P_h
∴
{1/(2πi)}∫_{γ_j}(zI-A)^{-1}dz
{1/(2πi)}∫_{γ_j}Σ_{h=1～k}{1/(z-λ_h)}(P_h)dz
=P_j

お礼

遅くなりまして大変申し訳ありません。

行列Aの固有値λ_hに対する(正規化済みの)右固有ベクトルを{v__1,v_2,…,v_h} (h=1,2,…,k≦n),
同様に(正規化済みの)左固有ベクトルを{w__1,w_2,…,w_h}とした時,
このw:={w__1,w_2,…,w_h}がC^n内のh次元ベクトル部分空間Lの基底v:={v__1,v_2,…,v_h}の双対基底になっている時,
P_h:=v_hw_h,と採ればP_hP_l=δ_{hl}P_hとなりますね。

もし双対基底となってない場合,
「wがvの双対基底となってない⇔∃j∈{1,2,…,h};w_jv_j=0」
ですから,
∃h,l∈{1,2,…,k};P_hP_l≠δ_{hl}P_h.となってしまい,
(zI-A)^{-1}=Σ_{h=1..k}{1/(z-λ_h)}P_hが成り立たなくなってしまい,
結果として,
{1/(2πi)}∫_{γ_j}(zI-A)^{-1}dz
{1/(2πi)}∫_{γ_j}Σ_{h=1～k}{1/(z-λ_h)}(P_h)dz
=P_j
が言えなくなってしまうのですね。

故に,
「wがvの双対基底となってない⇔∃j∈{1,2,…,h};w_jv_j=0」
と
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1666-08.pdf
での条件を踏まえると,重複因子の有無は問題ではなく,双対基底か否かが重要なのですね。即ち,
「wがvの双対基底となってない⇔P_j≠Res_{z=λ_j}[(zI-A)^-1]」
という事ですね。

このような解釈で大丈夫でしょうか?

回答No.7

jcpmutura

最初の等式は
「
Res_{z=λ_j}[(zI-A)^{-1}]={1/(2πi)}∫_{γ_j}(zI-A)^{-1}dz
」
でよいと思いますが
次の
「
{1/(2πi)}∫_{γ_j}(zI-A)^{-1}dz
={1/(2πi)}∫_{γ_j}Σ_{h=1～k}1/(z-λ_h)P_h dz
」は
[
A を n 次正方行列とし,行列 A の最小多項式を f(λ) で表す.
以下 f(λ) が重複因子を持たないとする.
f(λ)=0 の相異なる解(Aの固有値)をλ_h(h=1,2,～,k ただしk≦n),各λ_hに対して
Σ_{h=1～k}P_h=I
Σ_{h=1～k}(λ_h)(P_h)=A
を満たすn次正方行列 P_h が存在する]
事を証明する必要があります。
それが証明できれば
zI-A=Σ_{h=1～k}(z-λ_h)P_h
が証明されるけれども
(zI-A)^{-1}=Σ_{h=1～k}{1/(z-λ_h)}P_h
となる事を証明する必要があります
それが証明できれば
「
{1/(2πi)}∫_{γ_j}(zI-A)^{-1}dz
=P_j
」
が証明されます。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1666-08.pdf
の最初の所に証明抜きで結論

P_j={1/(2πi)}∫_{α_j}(λE-A)^{-1}dλ
(α_j=γ_j,I=E,λ=z)

だけ書かれています

お礼

因みにAが対角化不能な場合は,
A=Σ_{h=1..k}λ_hP_h+Σ_{h=1..k}(A-λ_hI)P_hとジョルダン分解されますから,
∀v∈Ker(A-λI),∀z∈C＼S(A) (ここでS(A)はAの全固有値の集合)に対して,
(zI-A)^-1v=1/(z-λ)vと書けますね。この時,
I=(zI-A)^-1(zI-A)=(zI-A)^-1[Σ_{h=1..k}(z-λ_h)P_h+Σ_{h=1..k}(zI-(A-λ_hI))P_h]
=(zI-A)^-1Σ_{h=1..k}(2zI-A)P_h
と書けますから,逆行列の一意性より,
(zI-A)^-1=Σ_{h=1..k}{1/(2z-λ_h)}P_hが言えると思います。
実際,
[Σ_{h=1..k}{1/(2z-λ_h)}P_h][Σ_{h=1..k}(2zI-A)P_h]
=Σ_{h=1..k}(2zI-A)/(2z-λ_h)P_h
=Σ_{h=1..k}P_h
=I
となりますね。

これで大丈夫でしょうか?

補足

> A を n 次正方行列とし,行列 A の最小多項式を f(λ) で表す.
> 以下 f(λ) が重複因子を持たないとする.
> f(λ)=0 の相異なる解(Aの固有値)をλ_h(h=1,2,～,k ただしk≦n),各λ_hに対して
> Σ_{h=1～k}P_h=I
> Σ_{h=1～k}(λ_h)(P_h)=A
> を満たすn次正方行列 P_h が存在する]
> 事を証明する必要があります。

これについては,
「f(λ) が重複因子を持たない」→「Aは対角化可能」→「スペクトル分解定理」
という手順でP_hの存在が保証されると思います。

> (zI-A)^{-1}=Σ_{h=1～k}{1/(z-λ_h)}P_h
> となる事を証明する必要があります

これについては,先ず ∀v∈Ker(A-λI),∀z∈C＼S(A) (ここでS(A)はAの全固有値の集合)に対して,
(zI-A)^-1v=1/(z-λ)vと書けますね。この時,
I=(zI-A)^-1(zI-A)=(zI-A)^-1Σ_{h=1..k}(z-λ_h)P_hと書けますから,逆行列の一意性より,
(zI-A)^-1=Σ_{h=1..k}{1/(z-λ_h)}P_hが言えると思います。

これで如何でしょうか?

回答No.6

jcpmutura

はいそれでよいと思いますが

Σ_{j=1..k}P_j=I
A=Σ_{j=1..k}λ_jP_j+Σ_{j=1..k}(A-λ_j I)P_j
が成り立ち

Aが対角化可能であればさらに
A=Σ_{j=1..k}λ_jP_j
が成り立つ
とすればもっとシンプルです

お礼

返事をする欄がなくなってしまいましたのでこちらで失礼します。
すっかり遅くなりまして大変申し訳ありません。

www.math.ritsumei.ac.jp/yasutomi/note/jordan.pdf
を参考にして下記の様に証明してみました。

ν(A):=A^m+α_{m-1}A^{m-1}+…+α_0I=0 (α_{m-1},α_{m-2},…,α_0∈C) をAの最小多項式とすると
ν(z)=Π_{j=1..k}(z-λ_j)^{μ_j}且つΣ_{j=1..k}μ_j=mなるλ_j∈Cとμ_j∈Nが存在する。

生成されるイデアルの記号を【 】で表す事にする。

C[z]は単項イデアル整域なので
S:=span{g_1(z),g_2(z),…,g_k(z)}⊂C[z]=【g(z)】…(*) (但し,g(z)はC[z]の生成元,g_l(z):=Π_{j=1..k,j≠l}(z-λ_j)^{μ_j},l=1,2,…,k)で
GCD{g_1(z),g_2(z),…,g_k(z)}=1…(**) (∵g_1(z),g_2(z),…,g_k(z)は互い素)が言え,
1=Σ_{j=1..k}f_j(z)g_j(z)∈S (f_j(z)∈C[z])なるf_1(z),f_2(z),…,f_k(z)∈C[z]が存在する。
よって,
p_j(z):=f_j(z)g_j(z)と採れば,
f(z)g(z)mod【p_j(z)】∈C[z]/【p_j(z)】(但し,f(z)g(z)∈C[z]=【g(z)】)に対して,
(f(z)g(z)mod【p_j(z)】)^2
=(f(z)g(z))^2mod【p_j(z)】
=f(z)g(z)mod【p_j(z)】
(∵∀y(z)∈f(z)g(z)mod【p_j(z)】に対して,f(z)g(z)-y(z)∈【p_j(z)】だから,p_j(z)|f(z)g(z)-y(z)でp_j(z)|f(z)g(z)且つp_j(z)|y_(z),
この時,p_j(z)|(f(z)g(z))^2且つp_j(z)|y_(z)でもあるから,p_j(z)|(f(z)g(z))^2-y(z)でy(z)∈f(z)g(z)mod【p_j(z)】。逆についても同様)
また,
∀y(z)∈(((z-λ_j)p_j(z))^{μ_j})mod【p_j(z)】に対し,p_j(z)|((z-λ_j)p_j(z))^{μ_j})-y(z)で,p_j(z)|y(z)でp_j(z)|0-y(z)だから,
y(z)∈0mod【p_j(z)】。
故に, (((z-λ_j)p_j(z))^{μ_j})mod【p_j(z)】=0mod【p_j(z)】。
更に,
i≠jの時,p_i(z)p_j(z)=0
(∵p_j(z)|0-p_i(z)p_j(z)だから,p_i(z)p_j(z)mod【p_j(z)】=0mod【p_j(z)】)。
以上より,
P_j:=p_j(A) (j=1,2,…,k)と採れば,
A=Σ_{j=1..k}λ_jP_j+Σ_{j=1..k}(A-λ_jI)P_jで,P_iP_j=δ_{ij}P_jを満たす。

これでいかがでしょうか?

補足

ご回答誠に有難うございます。
納得です。

前ご回答で2×2の場合の証明をご紹介いただきましたが,一般のn×nの場合の証明は複雑になってしまいますね。

Res_{z=λ_j}[(zI-A)^-1]=1/(2πi)∮_{γ_j}(zI-A)^-1dz
=1/(2πi)∮_{γ_j}Σ_{h=1..k}1/(z-λ_h)P_h dz
=P_j (∵コーシーの積分公式).

と証明してみたのですがこれで大丈夫でしょうか?

回答No.5

jcpmutura

すみません間違えました訂正します
A=
(1,0)
(1,2)
は対角化可能でした

(1,0)(1,0)(1.,0)=(1,0)(1 ,0)=(1,0)
(1,1)(1,2)(-1,1).(2,2)(-1,1).(0,2)

補足

ご回答誠に有難うございます。

www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K115j.pdf
の定理4で重複因子無しなら対角化可能を知ったのでした。

下記のようにもう少しシンプルに分類してみました。

「Aが対角化不能⇔非正規行列且つ重複因子有り」が成り立つので,,

(i) 対角化可能の場合,
A=Σ_{j=1..k}λ_jP_j と分解可能。

(ii) 対角化不能の場合,
A=Σ_{j=1..k}λ_jP_j+Σ_{j=1..k}(A-λ_j I)P_j と分解可能。

という具合に分類できるのですね?

回答No.4

jcpmutura

いいえ対角化可能行列という前提ではありません
重複因子が無いからといって対角化可能になるとはいえません
A=
(1,0)
(1,2)
とすると
Aは対角化不能ですが
重複因子無しですので
A=Σ_{j=1..k}λ_jP_j と分解可能です

zI-A=
(z-1,0)
(-1,z-2)

|zI-A|=z^2-3z+2=(z-1)(z-2)

(zI-A)^{-1}
=
(1/(z-1),0)
(1/{(z-1)(z-2)},1/(z-2))

P1
=Res_{z=1}[(zI-A)^-1]
=
lim_{z→1}
(1,0)
(1/(z-2),(z-1)/(z-2))
=
(1,0)
(-1,0)

P2
=Res_{z=2}[(zI-A)^-1]
=
lim_{z→2}
((z-2)/(z-1),0)
(1/(z-1),1)
=
(0,0)
(1,1)

P1+P2
=
(1,0)
(1-1,1)
=
(1,0)
(0,1)
=
I

λ1P1+λ2P2
=
(1,0)
(2-1,2)
=
(1,0)
(1,2)
=
A

P1+P2=I
λ1P1+λ2P2=A

回答No.3

jcpmutura

n=2の時

A=
(a11,a12)
(a21,a22)
とすると
zI-A=
(z-a11,-a12)
(-a21,z-a22)

行列 A の最小多項式
f(z)が
重複因子を持つ場合
f(z)=|zI-A|=z^2-(a11+a12)z+|A|=(z-λ1)^2

P1
=Res_{z=λ_1}[(zI-A)^-1]
=
lim_{z→λ1}(d/dz)
(z-a22,a12)
(a21,z-a11)
=
(1,0)
(0,1)
=
I

λ1P1
=
(λ1,0)
(0,λ1)

λ1P1+(A-λ1I)P1=λ1I+(A-λ1I)I=λ1I+A-λ1I=A
だから
n=2の時
Aが重複因子を持つ行列の場合は,
Aの固有値をλ_1とすると,
P_1=I:単位行列
A=λ_1P_1+(A-λ_1I)P_1
となります。

Aが
重複因子を持つ行列の場合は,
対角行列でない対角化可能行列の場合も
A≠λ_1P_1
だから
Σ_{j=1..k}λ_jP_j=Aは成り立たないので

対角化不能行列という条件は
対角行列でない行列という条件に変えた方がよいと思います。

補足

遅くなりまして大変申し訳ありません。
ご説明納得できました。

> 対角化不能行列という条件は
> 対角行列でない行列という条件に変えた方がよいと思います。

つまり,
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1814-02.pdf
では対角化可能行列という前提で議論されてたのですね。

japla.sakura.ne.jp/workshop/workshop/2009/spectol_decomp.pdf

一般の場合を纏めてみます。

Aの相異なる固有値をλ_1,λ_2,…,λ_k, k≦nとすると,

(i) 重複因子無し(これは自動的に対角化可能行列になる)の場合,
A=Σ_{j=1..k}λ_jP_j と分解可能。

(ii) 重複因子有りの場合,
対角化の可能不能に関わらずA=Σ_{j=1..k}λ_jP_j+Σ_{j=1..k}(A-λ_j I)P_j と分解可能。

という具合に分類できるのですね?

回答No.2

jcpmutura

(A を n 次正方行列とし,行列 A の最小多項式を f(λ) で表す.)
の次に
「
以下 f(λ) が重複因子を持たない場合を考える.
」と書いてあります。

A=
(1.,1)
(-1,3)
とすると
f(λ)=|λI-A|=(λ-1)(λ-3)+1=λ^2-4z+4=(λ-2)^2
は重複因子(λ-2)を持ちますので
Σ_{j=1..k}λ_jP_j=Aは成り立ちません。

n=2の時

A=
(a11,a12)
(a21,a22)
とすると
zI-A=
(z-a11,-a12)
(-a21,z-a22)

f(z)=|zI-A|=z^2-(a11+a22)z+|A|=(z-λ1)(z-λ2)
が重複因子を持たない場合
λ1≠λ2,k=2だから

(zI-A)^{-1}
=
[1/{(z-λ1)(z-λ2)}]*
(z-a22,a12)
(a21,z-a11)

P1
=Res_{z=λ_1}[(zI-A)^-1]
=
lim_{z→λ1}{1/(z-λ2)}*
(z-a22,a12)
(a21,z-a11)
=
((λ1-a22)/(λ1-λ2),a12/(λ1-λ2))
(a21/(λ1-λ2),(λ1-a11)/(λ1-λ2))

P2
=Res_{z=λ_2}[(zI-A)^-1]
=
lim_{z→λ2}{1/(z-λ1)}*
(z-a22,a12)
(a21,z-a11)
=
((λ2-a22)/(λ2-λ1),a12/(λ2-λ1))
(a21/(λ2-λ1),(λ2-a11)/(λ2-λ1))

P1+P2
=
({λ1-a22-(λ2-a22)}/(λ1-λ2),(a12-a12)/(λ1-λ2))
((a21-a21)/(λ1-λ2),{λ1-a11-(λ2-a11)}/(λ1-λ2))
=
(1,0)
(0,1)
=
I

λ1P1+λ2P2
=
({λ1(λ1-a22)-λ2(λ2-a22)}/(λ1-λ2),(λ1-λ2)a12/(λ1-λ2))
((λ1-λ2)a21/(λ1-λ2),{λ1(λ1-a11)-λ2(λ2-a11)}/(λ1-λ2))
=
(λ1+λ2-a22,a12)
(a21,λ1+λ2-a11)
=
(a11,a12)
(a21,a22)
=
A

∴
P1+P2=I
λ1P1+λ2P2=A

補足

ご回答誠に有難うございます。大変参考になります。

重複因子を持つ場合を探してみました。
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1814-02.pdf
japla.sakura.ne.jp/workshop/workshop/2009/spectol_decomp.pdf

そこで確認させてください。

Aが重複因子を持つ対角化不能行列の場合は,Aの固有値をλ_1,λ_2,…,λ_r (r≦n)とすると,
A=Σ_{k=1..r}λ_kP_k+Σ_{k=1..r}(A-λ_kI)P_k 但し,Σ_{k=1..r}P_k=I:単位行列,

という風に(射影行列のみでは無理だが)分解されるのですね。

ここで,(A-λ_kI)P_kはJordan細胞一個のJordan行列となる。

このような解釈で大丈夫でしょうか?

回答No.1

jcpmutura

C=(全複素数)
A∈C^{n×n},
Iはn次単位行列
j=1,2,…,kに対して
λ_jはAの固有値
γ_jはλ_jだけを内部に含むJordan閉曲線
λ_jは(zI-A)^-1の極となっているので
Res_{z=λ_j}[(zI-A)^-1]=1/(2πi)∮_{γ_j}(zI-A)^-1dz
=P_j=1/(2πi)∮_{γ_j}(zI-A)^{-1}dz

A=
(1.,1)
(-1,3)
とすると

zI-A=
(z-1,-1)
(1.,z-3)

|zI-A|=(z-1)(z-3)+1=z^2-4z+4=(z-2)^2
だから
Aの固有値は
2
だけ

(zI-A)^{-1}
=
{1/(z-2)^2}*
(z-3,1.)
(-1,z-1)

P_1
=
Res_{z=2}[(zI-A)^-1]
=
lim_{z→2}(d/dz)
(z-3,1.)
(-1,z-1)
=
(1,0)
(0,1)
=I

λ_1P_1=2P_1
=
(2,0)
(0,2)
≠
(1.,1)
(-1,3)
=A

∴
A=
(1.,1)
(-1,3)
の時
Σ_{j=1..k}λ_jP_j=Aは成り立たない

補足

ご説明まことに有難うございます。

実は下記を参考にしていたのですが,何処を勘違いしてるのでしょうか?

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1666-08.pdf