『行列の２つの列を入れ替えると行列式はー1倍になる』ことの証明

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

『行列の２つの“列”を入れ替えると行列式はー1倍になる』ことの
証明についてです。

手持ちの参考書には
『行列の２つの“行”を入れ替えると行列式はー1倍になる』ことの
証明は載っていました。
i行とk行を入れ替える時、τ＝σ(i k)と置くといううまいやり方でした。
列の入れ替えについては、行の入れ替えに　転置行列の公式detA＝det(tA)を用いればよいのですが、
この公式を用いずに直接「２列の入れ替えで行列式がー1倍になる」ことを示したいと思っているのですが、なかなかできずに困っています。

どなたかできる方、よろしくお願い致します。

方針があってないかもしれませんが、以下途中まで自分でやった部分です。
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行列A＝(a_ij)のi列とk列を交換した行列をA'＝(b_ij)、
S_nをｎ次の対称群をします。

detA＝Σ[σ∈S_n]sgn(σ)a_1σ(1)・・a_rσ(r)・・
　　　・・a_tσ(t)・・a_nσ(n)

σ(r)＝i, σ(t)＝kとする。またσ(-1)はσの逆置換とする。
b_1σ(1)・・b_rσ(r)・・b_tσ(t)・・b_nσ(n)
＝b_1σ(1)・・b_ri・・b_tk・・b_nσ(n)
＝a_1σ(1)・・a_rk・・a_ti・・a_nσ(n)
＝a_1σ(1)・・a_σ^(-1)(i)k・・a_σ^(-1)(k)i・・a_nσ(n)
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よろしくお願い致します。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

結局同じことなんだけどなぁ....
τ = (k i)σ とおくと
τ(r) = k, τ(t) = i, τ(s) = σ(s) (s ≠ r, t) だよね. つまり
b_1σ(1)・・b_rσ(r)・・b_tσ(t)・・b_nσ(n)
＝b_1σ(1)・・b_ri・・b_tk・・b_nσ(n)
＝a_1σ(1)・・a_rk・・a_ti・・a_nσ(n)
= a_1τ(1) ... a_rτ(r) ... a_tτ(t) ... a_nτ(n).
で符号に関しては sgn τ = -sgn σ.
ついでに σ と τ = (k i)σ とは 1対1 に対応する.

回答No.3

Tacosan

えぇと, はっきりいってしまうと #1 は勘違いしていただけなんだけどそういってしまうとなさけないのでなんとなく誤魔化してみる試み:
まず, 「行を入れ替える」ときに, τ = σ(i k) という置換の対応を考えればいいことがわかっています. また, det A = det(tA) の証明を見れば, 「転置をとる」ことには「逆置換を考える」ことが対応しています. そこで, 「A の i列と k列を入れ替える」という操作を
1. A の転置をとる
2. 転置行列で i行と k行を入れ替える
3. 再度転置する
という 3つの操作と考えます. A の i列と k列を入れ替えた行列を B とすると, 1, 2 の操作でそれぞれ tA, tB が得られます. そして, B に対応する置換σ に対して A に対応する置換τをとることにすると
B/σ → tB/σ^-1 → tA/σ^-1 (i k) → A/(σ^-1 (i k))^-1
という置換の対応関係があり, 最後の (σ^-1 (i k))^-1 が τ になればいいわけです.
従って
τ = (σ^-1 (i k))^-1 = (i k) σ
です.

お礼

大変詳しいご回答本当にどうもありがとうございます。

b_1σ(1)・・b_rσ(r)・・b_tσ(t)・・b_nσ(n)
でｒとtを何とか消去しようと思い、苦し紛れにσ^(-1)を
持ち出したのが駄目でした・・・。

何か自分が気付かないうまい方法があるかもしれないと思い、こちらで質問してみまして良かったです。

「τ = (k i)σ とおくと」の置き換えが全く気付きませんでした。
本当にどうもありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

その通り, σ の逆置換を考えるだけです.

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

detA'＝Σ[σ∈S_n]sgn(σ)b_1σ(1)・・b_rσ(r)・・
　　　　・・b_tσ(t)・・b_nσ(n)　を何とか
detA＝Σ[σ∈S_n]sgn(σ)a_1σ(1)・・a_rσ(r)・・
　　　・・a_tσ(t)・・a_nσ(n)
に結び付けたいのですが、
私の途中計算
b_1σ(1)・・b_rσ(r)・・b_tσ(t)・・b_nσ(n)
＝a_1σ(1)・・a_σ^(-1)(i)k・・a_σ^(-1)(k)i・・a_nσ(n)
では、σの逆置換σ^(-1)が行の置換になってしまい、
先に進めずに困っています。

何か方針だけでも分かりましたらよろしくお願い致します。