- ベストアンサー
定数倍の行列式
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
できます．いみじくも質問で述べているように各行（列）を定数倍すれば行列式は定数倍されるのですから，一般にn字正方行列Aとスカラーsに対して |sA| = s^n |A| です．sAはすべての行（列）がAの行（列）のs倍になっているだけですからね．
その他の回答 (2)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
|sA| = (s^n)|A| の n が 行の数なのか列の数なのか気になってしまう人には、 |sA| = |sEA| = |sE|・|A| という手もある。(E は A と同寸の単位行列。) sE が対角行列だから、|sE| の成分計算は簡単。
お礼
こう考えると分かりやすいですね，ありがとうございました！
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>ある行あるいは列を定数倍したら行列式も定数倍になるという公式はある その通りです。 >ある対称行列A 行数(=列数)をnとすると sAの行列式|sA|の各行(または各列)からsが括り出せるので |aA|=(s^n)|A| とAの行列式|A|の「s^n」倍になります。 お分かり？
お礼
大変よく分かりました，ありがとうございました！
関連するQ&A
- 『行列の２つの列を入れ替えると行列式はー1倍になる』ことの証明
お世話になります。よろしくお願いします。 『行列の２つの“列”を入れ替えると行列式はー1倍になる』ことの 証明についてです。 手持ちの参考書には 『行列の２つの“行”を入れ替えると行列式はー1倍になる』ことの 証明は載っていました。 i行とk行を入れ替える時、τ＝σ(i k)と置くといううまいやり方でした。 列の入れ替えについては、行の入れ替えに 転置行列の公式detA＝det(tA)を用いればよいのですが、 この公式を用いずに直接「２列の入れ替えで行列式がー1倍になる」ことを示したいと思っているのですが、なかなかできずに困っています。 どなたかできる方、よろしくお願い致します。 方針があってないかもしれませんが、以下途中まで自分でやった部分です。 _________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 行列A＝(a_ij)のi列とk列を交換した行列をA'＝(b_ij)、 S_nをｎ次の対称群をします。 detA＝Σ[σ∈S_n]sgn(σ)a_1σ(1)・・a_rσ(r)・・ ・・a_tσ(t)・・a_nσ(n) σ(r)＝i, σ(t)＝kとする。またσ(-1)はσの逆置換とする。 b_1σ(1)・・b_rσ(r)・・b_tσ(t)・・b_nσ(n) ＝b_1σ(1)・・b_ri・・b_tk・・b_nσ(n) ＝a_1σ(1)・・a_rk・・a_ti・・a_nσ(n) ＝a_1σ(1)・・a_σ^(-1)(i)k・・a_σ^(-1)(k)i・・a_nσ(n) _____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化について
実対称行列A:= | 0 1 2 | | 1 1 3 | | 2 3 0 | に対し、tPAPが対角行列となるような実正則行列Pはどのように求めればよいのでしょうか？ この場合は、固有値&固有ベクトルが簡単には求まらないので、簡単には対角化のための行列が求まりません。（たいていの問題では求まるんですが。） このような時は実二次形式を利用して解く、というような事は、色々見るのですが、いざやってみると行列Aの第1行第1列が"0"である事が非常に扱いづらいのです。つまり基本行変形だけで三角行列に変形できないのです。 どなたか教えていただけないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対称行列の行列式に関する問題
下に掲げた問題をどう解いたらよいか分かりません。誰か教えていただけないでしょうか？ a 1 -1 1 a -1 -1 -1 a 上の３行３列の行列をＡとするとＡの行列式 |Ａ|＝０ となるような定数 a の値を求めよ という問題なのですが行列式 |Ａ|＝(a^3)-(a^3)となってしまい a の定数が無限に取れてしまうのです。どういう解き方をすればいいのでしょうか？？ また参考としてこの問題の続きに |Ａ|＝０のとき、行列Ａの階数を求めよ という問題に続きます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の和の逆行列について
情報処理系の数学（カルマンフィルタとか）では（A+B+C）^(-1)とか（A+BCF）^(-1)のように行列の和（あるいは行列と行列の積の和）の逆行列の表式があり、公式のようなものが与えられていたりします。その中で例えば（A+B+C）^(-1)でA,B,Cとは何かと言うと行列（普通は正方行列？）なわけですが、例えば単に1つの値（スカラー）であった場合は逆数というのは自然な拡張としてあり得ると思います。1行1列の行列の対角成分だけの行列と見なすわけです。これはいいだろうと思います。問題はAなどがベクトルだったときです。これは計算できないということでいいでしょうか。ベクトルだったら1行N列の行列（N行1列でも）ということであり、逆行列が定義できないということになるでしょうか。カルマンフィルタなどではベクトルではないかと思うものが式の中に入っているのですが。Rで実験してみるとAの逆行列はsolve(A)だけで求まります。Aがスカラーだったら予想どおり逆数なります。ベクトルだったらエラーです。やはりベクトルだと当然ダメということでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 逆行列 求め方
逆行列の求め方について。 以下の内容はすべてdet（A）≠0：逆行列が存在することを前提にします。 2行2列の場合は、添付画像のように逆行列を求めていました。 これは、通常3行3列などで逆行列を求める場合に使う A^-1=A＾～/｜A｜を簡単にしたものだと考えておりました。 式が見づらくてすいません。A^-1：逆行列、A＾～：余因子行列です。 ここで質問なのですが、 2行2列の余因子行列は添付画像にある行列になるのでしょうか？ 3行3列の場合はテキストなどに記載されている方法でわかるのですが 同様の方法では2行2列の余因子行列は作れません・・・ また、余因子行列を作る際に小行列式なるものが出てきます。 この小行列式と呼ばれるものは見た目は行列なのになぜ行列式 と呼ばれるのでしょうか？ URL：http://kagennotuki.sakura.ne.jp/la/node5.html 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列式の公式
行列A=(a_{ij})の余因子行列をB=(B_{ij})とします． Aが3行3列の場合， (1) B_{11} B_{22} - B_{12} B_{21}=a_{33} |A| が成り立つと思います．Bの余因子行列をC=(C_{ij})とすると，(1)は (2) C_{33}=a_{33} |A| と表せると思うのですが，Aが3×3の場合に (3) C_{ij}=a_{ij} |A| という公式があるのでしょうか？(2)の場合は直接計算すれば証明できますが，(3)が成り立つ場合，どのように証明すればいいのでしょうか？ また，Aが一般のサイズの行列のときに(3)に似たような公式はあるのでしょうか？ よろしくおねがいします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列固有値問題
Aは、3×3行列で、3つの固有値のうち2つが同じ(1組が重解)で、もう一つが異なる解、つまり固有値λ1、λ2、λ3で λ1=λ2 λ3≠λ1 の場合、 Aが対称行列ではないもの具体例を示して下さい。また、その具体例の行列を対角化する行列Pも示して下さい。 この時、求める最小多項式は重解はないものとします。 つまり、(A-λ1E)(A-λ3E)=0 をみたし、 対角化した行列は、λ1=λ2、λ1≠λ3で [λ1 0 0] [0 λ2 0] [0 0 λ3] になります。 このようなAでなおかつ対称行列でないものをあげて欲しいのですが、存在しますか? 対称行列だったら、いくつか列があったのですが、そうでない具体例が知りたいのです。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました！助かりました。