行列のノルム

質問

以下、xはn次元ベクトル、A=(a(i,j))はn×n行列とします。

■||x||_2 = √{Σ_[j=1～n](x_j)^2} (ユークリッドノルム)
※x_jは、xの第j成分です。
このノルムを採用したとき、行列Aのノルムは以下のように定義することが出来る。
・||A||_2 = MAX_[x]{||Ax||_2/||x||_2}
この具体的な表現は以下で与えられる、らしいのですが…。
・||A||_2 = MAX_[k]{√(μ_k)} (μ_kは、BをAの転置行列として、BAの固有値。)
本を読んでも、「簡単に導出できるので試みられたい。」とかしか書かれておらず、困っています。どうやって導出するのでしょうか?僕には簡単に導出できません。

また、
■||x||_∞ = MAX_[k]{|x_k|} 　※x_kは、ベクトルxの第k成分。
このノルムを採用したとき、行列Aのノルムを
・||A||_∞ = MAX_[x]{||Ax||_∞/||x||_∞}
と定義できて、この具体的な表現は、
・MAX_[i]{Σ_[j=1～n]|a(i,j)|}
で与えられるらしいのですが、本を読んでも、これも証明が省かれています。
||A||_1についてはきちんと証明が載っているのですが…。

どちらか片方ずつでも、おねがいします。

回答No.1

nubou · ベストアンサー

Ａは実行列ですね
（１）∥・∥がユークリッド∥の時
Ａ＾Ｔ・Ａのｎ個の固有値をμ［１］，μ［２］，・・・，μ［ｎ］とし
Λ＝ｄｉａｇ（μ［１］，μ［２］，・・・，μ［ｎ］）とし
Ａ＾Ｔ・Ａは実対称行列だから直交行列によって対角化されるのでＡ＾Ｔ・Ａを対角化する直交行列をＲとすると（すなわちＲ＾Ｔ・Ａ＾Ｔ・Ａ・Ｒ＝Λ）
∥Ａ・ｘ∥＾２＝
（Ａ・ｘ）＾Ｔ・（Ａ・ｘ）＝
ｘ＾Ｔ・（Ａ＾Ｔ・Ａ）・ｘ＝
ｘ＾Ｔ・（Ｒ・Ｒ＾Ｔ）・（Ａ＾Ｔ・Ａ）・（Ｒ・Ｒ＾Ｔ）・ｘ＝
（Ｒ＾Ｔ・ｘ）＾Ｔ・Ｒ＾Ｔ・（Ａ＾Ｔ・Ａ）・Ｒ・（Ｒ＾Ｔ・ｘ）＝
（Ｒ＾Ｔ・ｘ）＾Ｔ・Λ・（Ｒ＾Ｔ・ｘ）＝
Σ（１≦ｋ≦ｎ）・μ［ｋ］・ｙ［ｋ］＾２
なおＲ＾Ｔ・ｘ＝［ｙ［１］　ｙ［２］　・・・　ｙ［ｎ］］＾Ｔとした
また∥ｘ∥＾２＝ｘ＾Ｔ・ｘ＝ｘ＾Ｔ・Ｒ・Ｒ＾Ｔ・ｘ＝∥Ｒ＾Ｔ・ｘ∥＾２
従って
∥Ａ・ｘ∥／∥ｘ∥＝
∥Ａ・（Ｒ＾Ｔ・ｘ）∥／∥（Ｒ＾Ｔ・ｘ）∥＝
√（Σ（１≦ｋ≦ｎ）・μ［ｋ］・ｙ［ｋ］＾２）／√（Σ（１≦ｋ≦ｎ）・ｙ［ｋ］＾２）
＝√（Σ（１≦ｋ≦ｎ）・μ［ｋ］・ｅ［ｋ］＾２）
ただしｅ［ｋ］＝ｙ［ｋ］／√（Σ（１≦ｋ≦ｎ）・ｙ［ｋ］＾２）
μ［ｋ］が最大の時ｅ［ｋ］を１とし他のｅ［・］を０とすれば上式が最大になるでしょう

（２）無限大ノルムのとき
ｘが１か－１のいずれかとしても同じだからそのようにして
Ａ・ｘを眺めてみてください
負のものが正になるようにｘの成分を１にするか－１にするかをきめればいいのです
（１）でつかれたので（２）は手抜き回答ですのであしからず

お礼

ありがとうございました。
ユークリッドノルムの場合は解りました。

無限大ノルムの場合は、以下であってますでしょうか?
||Ax||_∞
= MAX_[i]{ |Σ_[j=1～n] a(i,j)・x_j| } = ＊
ここで、MAX_[i]{ Σ_[j=1～n] |a(i,j)| } = Σ_[j=1～n] |a(k,j)| として、
x_j = |a(k,j)|/a(k,j) ( =　1 or -1 )
とすると、
＊ = Σ_[j=1～n] |a(k,j)| = MAX_[i]{ Σ_[j=1～n] |a(i,j)| }
となって、証明終り。

う～む…。こんなの素じゃ絶対思いつかない…。数学者のアタマの中はどーなってんだろ。

回答No.3

nubou

無限大ノルムの場合は、以下であってますでしょうか?：

あってますね

う～む…。こんなの素じゃ絶対思いつかない…。：

ｎ＝２，３のとき式を書き下してにらめっこすると結構思い浮かびますよ
一般の場合に抽象的すぎて混乱した場合にそうするといいと思います

お礼

ありがとうございました。

>ｎ＝２，３のとき式を書き下してにらめっこすると結構思い浮かびますよ
>一般の場合に抽象的すぎて混乱した場合にそうするといいと思います

鉛筆で書き下して…、というのは、どうも面倒でサボっちゃうんですよねぇ…。
でも、アタマのメモリ容量が少ない僕としては(^^;、やっぱそれも必要ですね。
出来るだけやってみます。

回答No.2

nubou

２）無限大ノルムのとき
ｘの成分の最大値を１にしても問題ないことは明らか（分数だから）
そのときｘの成分が１か－１のいずれかのときに∥Ａ・ｘ∥を最大にすることができることも明らか
ｘの成分が１か－１のいずれかとしてＡ・ｘを眺めてみてください
Ａ・ｘのある成分において計算式の各項が正になるようにｘの成分を１にするか－１にするかをきめればその成分は最大になるでしょう

（１）でつかれたので（２）は手抜き回答ですのであしからず