モンティ・ホール問題に絡んだ質問です

質問

最近　モンティ・ホール問題と言うのを知りました。回答して頂ける方には説明するまでも無いと思うのですが、たまたま見かけた人の為にも解説します。

3つの箱A,B,Cがあって、そのうちのひとつが「当たり」で残りが「外れ」という状況で、あなたはどれかを選びます。あなたがひとつ選んだ後、出題者が「外れ」をひとつ選んで見せてくれます。例えばあなたがAを選んだ場合出題者が「Cは外れです」、と言ってくれます。その後、あなたは自分の選択をBに変えることが許されます。Aのままにしますか、Bに変えますか？

ここで、（多くの人の）直感的にはAのままでもBに変更しても２つから１つを選ぶので確率は1/2なのですが、数学的に考えるとBに変えたほうが当たる確率が上がる（この場合2/3になる)というのがこの「モンティ・ホール問題」です。私は数学的には「なぜか」というのは理解しました。簡単に言うと、Aが正解の確率は1/3、BとCのどちらかが正解の確率が2/3なので、Cが取り除かれた今、Bが「当たり」の確率が2/3になっているのでBに選びなおしたほうが良い、という事ですよね。

これはこれで納得したのですが、理解できない点がひとつあります。

ここで全くの他人が、ここまでのやり取りを全く知らされず、Cがすでに取り除かれた状態で、AかBのどちらかが「当たり」なのでどちらか選んで下さい、と言われるとします。この人がAを選ぶか、Bを選ぶかは1/2の確率ですよね。ここでAが誰かによって既に選ばれCが取り除かれた、という「以前のやりとり」がなければここでこの人（新たな人）が「当たり」を出す確率はどちらを選んでも1/2の筈ですよね。

ところが、このケースでは、新たな選択者は知りませんが「以前のやり取り」があるので、Bが「当たり」の確率の方が高くなっていますよね（？）。

という事は、「他の人が行った選択、判断、以前のやり取り」があれば、全くその経過を知らない人の数学的確率も影響される、という事ですか？それともこの状況では「知らない事」は「無かった事」と同じになるのでしょうか？そうであれば、確率は1/2ですが、そうすると最初の人が選択を変えても変えなくても1/2となってしまいます。

もし前者であれば、日ごろの生活でも、自分が知らない所で他人の行った以前の判断、選択が自分が行う物事の確率に影響していると言うことにもなるのかなど、変な気持ちになって来ました（笑）。

誰か解説して頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.6

Toxicshock · ベストアンサー

No.2と3で回答した者です。

かなりとっ散らかってきたみたいなので、もう一度整理します。

山田さんの例えをそのまま使わせて頂きます。

山田さんであれ、佐藤さんであれ、誰であっても、Aの当たりの確率は1/3で、Bの確率は2/3です。

一方、山田さんからしてみれば、Aを選ぶ確率もBを選ぶ確率も1/2です。

錯覚の位置がどこにあるかは一目瞭然ですよね。

「AやBの当たりの確率」と「山田さんが当てる確率」です。

質問者様の理解で合ってます。

お礼

数度にわたって回答頂きまして、大変感謝いたしております。私の理解が合っているとの確認も感謝いたします。この問題やさらには数学についてだけでなく、様々な世の中の「問題」について正答を導くには、「何を問われているのか」という部分を正確に理解しないといけないと反省をこめてつくづく感じました。ありがとうございました。

回答No.5

Mathmi

＞NO２と３の回答を経て、私の理解は山田さん田中さんどちらが選んだ場合でもAが当たりの確率は1/3、Bが当たりの確率は2/3だと理解しているのですが違いますでしょうか？
＞今までの過程があれば「Aが当たりである確率」は1/3　「Bが当たりである確率」は2/3
　間違っていません。
　ただ、田中さんの正答率を導くのには必要ない項目でもあります(だから自分は無意識に除外してしまった)。

＞私の混乱は「AとBのそれぞれが当たりである確率」と「回答者が当てる確率」を混同した為に起こったもの
　その考え方で合ってると思います。

　前提条件を知ってるか、知らないかによって確率(正答率)が変わるのは当然です。
　極論を言えば、3つの扉の中のどれが当たりかを知っていれば、正答率100%になるのですから。

お礼

確認のための再度に渡るご回答、感謝いたします。ありがとうございました。

回答No.4

Mathmi

「いつ選択するか」が明示されてないので誤解する事が多いようです。

最初に選ぶ際、「当たりの1つを選ぶ」か「外れの2つを選ぶか」と考えれば理解しやすいのではないでしょうか？

「当たりの1つを選ぶ」つもりの場合は、当然最後の選択で別の扉には変えません。この場合の的中率は、3つの扉のなかから1つ選ぶ事になるので、1/3です。

「外れの2つを選ぶ」つもりの場合は、当然最後の選択で別の扉に変えます。この場合の的中率は、3つの扉のなかから2つ選ぶ事になるので、2/3です。

つまり山田さんは「3つの扉の中から外れの2つのいずれかを選ぶ」ために的中率は2/3です。
後の田中さんは「2つの扉の中から当たりの1つを選ぶ」ために的中率は1/2です。

意思決定タイミングが異なる為に、確率が変わってくるのです。
田中さんの意見を聞いて判断をしたならば、その時点で的中率2/3の前提が崩れます(扉が2つになった時点で再度意思決定した為)。

お礼

回答ありがとうございます。

＞意思決定タイミングが異なる為に、確率が変わってくるのです。田中さんの意見を聞いて判断をしたならば、その時点で的中率2/3の前提が崩れます(扉が2つになった時点で再度意思決定した為)。

少しまた頭が混乱してしまったのですが、最終意思決定、つまり最後に扉（私の例えでは箱）を変えるか変えないかは残りの扉が２つの時点ですよね。

NO２と３の回答を経て、私の理解は山田さん田中さんどちらが選んだ場合でもAが当たりの確率は1/3、Bが当たりの確率は2/3だと理解しているのですが違いますでしょうか？

自分の質問に自分で答えているみたいになりますが、田中さんがどちらを選んでも「当たり」を選ぶ確率は1/2ですよね (Aを選んで当たる確率1/3 x Aを選ぶ確率1/2 = 1/6 Bを選んで当たる確率2/3 x Bを選ぶ確率1/2=2/6 よって当たる確率は1/6+2/6 = 1/2)。

つまり山田さんであれ田中さんであれ今までの過程があれば「Aが当たりである確率」は1/3　「Bが当たりである確率」は2/3、そして山田さんの場合既にAを選んでますので「そのままAの場合当たる確率1/3」「Bに変えた場合当たる確率2/3」という事なんですよね（？）。山田さんがこのカラクリを知らずランダムに選ぶ（そのままにするかBに変えるか選ぶ）とすれば「山田さんが当たりを選ぶ確率」はやはり1/2という事で合ってますでしょうか？

つまり私の混乱は「AとBのそれぞれが当たりである確率」と「回答者が当てる確率」を混同した為に起こったものであると自分では理解しています。間違いがあればご指摘下さい！

回答No.3

Toxicshock

No2です。
私の回答の仕方も言葉足らずだったようです。
山田さんが1/3の確率であるAを選ぶ確率は1/2、同じく2/3の確率であるBを選ぶ確率も1/2です。
即ち、山田さんにとっては1/2なのです。

お礼

ありがとうございます！

私も色々考えて自分でも仰ってくださった結論というか理解までは進みました。つまり、ここでは「山田さんがAを選んだ場合にそれが当たりである確率はいくらか？」と言う問題であれば、それはやはり1/3という事なんですよね。

それで、さらに深く考えたのですが（すみません、性分で^^）、以下のような問題があったとしたら、答えは「さらなる情報がないとわからない」になるわけですよね（？）。

佐藤さんが、AとBの箱のどちらかを選ぶように言われました。どちらかは「当たり」、もうひとつは「外れ」の箱という事です（どちらか一方は必ず「当たり」でもう一方は必ず「外れ」です）。佐藤さんはAを選びました。この時佐藤さんが「当たり」を選んでいる確率はいくらでしょうか？

直感的に考えるとどちらか一方に入っているのでそれがAである確率は1/2、と考えてしまいそうですが（少なくとも今までの私はそうでした）、これは「無作為に当たりと外れを入れた」という情報がないと1/2とは言えない、という事ですよね。ずっとBのみに入れてある場合もありますよね。
でも、「当たる確率は1/2」ですよね。

なんとなく、分ってきた気がします。
（どこか間違っていたら、指摘頂ければ嬉しいです）

重ねて回答感謝いたします。

補足

私も気づかずそのまま「山田さん」と書きましたが、Toxicshockさんはここで「山田さん」を「田中さん（新たな選択者、電話で聞かれた人）」の意味で書いてらっしゃいます（よね？）。

回答No.2

Toxicshock

私もこの問題は腑に落ちなくて、変な気分になりました。本職の数学者ですら、錯覚したらしいので我々凡人に理解出来ないのは当たり前ですよね。

質問者様の言われる、「以前のやりとり」を知らずに云々というのは、言い換えれば、残った2つをシャッフルする事と同義になります。
この場合、確率は当然1/2です。
そもそも比べる事に意味がありません。

このような訳のわからない問題をさも当然のように解答したマリリン何とかさんは世界一のIQでギネスに載ったそうですが、どんな世界が見えているんでしょうね。

お礼

回答ありがとうございます。
＞質問者様の言われる、「以前のやりとり」を知らずに云々というのは、言い換えれば、残った2つをシャッフルする事と同義になります。この場合、確率は当然1/2です。そもそも比べる事に意味がありません。

の部分についてですが、少し私の書き方が拙かったかも知れません。もう少し詳しく質問というか、補足します。例えば山田さんが、この「3択ゲーム」をやっているとします（アルファベットでAさん、とするとややこしいので山田さんにします^^）。さて、山田さんはAを選びました。出題者はCではない事を明確にします。残るはAかBか。山田さんはBに変えても良いよ、と言われます。私の質問は「この時点で」事情の知らない田中さんがAかBか選んだら確率はどうなるか？という事です。

例えば山田さんこの時点で田中さんに電話して「あのさぁ、事情省略するけどAかBか選ばないといけないんだよね。どちらかが当たりでどちらかが外れ。他力本願で行こうと思うから選んで！」と言えば、どうでしょうか？

数学的には山田さんがBを選べば「当たり」の確率は高く、実験でもそうなっているそうです。ところが全然事情を知らない田中さんにとっては確率はどちらでも半々のはずです。

つまり、

山田さんが田中さんに託した時点でAが当たりの確率とBが当たりの確率は同じになる

のか

山田さんの以前の選択が影響して、田中さんもBを選んだほうが当たりの可能性が高くなるのか？

という事なんですけど、何かどちらでも（？）「シュレーディンガーの猫」みたいに変ですよね。どこか自分の論理にもしっくりこなくて何かおかしいところがあるのではと思ってるんですが、よく分からないのです！

回答No.1

aokii

出題者が答えを知っているために、外れだけを出題者が選ぶこと、がこの問題を解りにくくしています。
直感的に理解するには、箱の数を10000個にしてみると、良く解ります。

補足

すみません、モンティ・ホール問題自体は理解しています。私の質問を全て読んで下さった上で私の質問に対して頂いた回答でしょうか？そうであれば申し訳ないですが、これだけでは良く分らないです。