至急お願いします。空間ベクトルが分かりません…

質問

閲覧ありがとうございます。

明後日までの課題なのですが、とても困っています…。

一辺の長さが1の正四面体OABCがある。
辺OA,AB,BC を p :(1-p) (0<p<1)に内分する点をそれぞれL,M,Nとし、
OA↑=a↑,OB↑=b↑,OC↑=c↑とする。

(1)ベクトルML↑,MN↑をそれぞれa↑,b↑,c↑およびpを用いて表せ。また、内積ML↑・MN↑をpを用いて表せ。

(2)ベクトルLN↑をa↑,b↑,c↑およびpを用いて表せ。またLN↑の大きさ|LN↑|をpを用いて表せ。

(3)|LN↑|を最小にするpの値を求めよ。また、そのときの三角形LMNの面積を求めよ。

答えは
(1)ML↑=(2p-1)a↑-pb↑
MN↑=(p-1)a↑＋(1-2p)b↑＋pc↑
ML↑・MN↑=2p^2-2p＋1/2

(2)LN↑=-pa↑＋(1-p)b↑＋pc↑
|LN↑|=√2p^2-2p＋1

(3)p=1/2, 面積 1/8

になるそうなのですが、なぜそうなるのかも分かりません(汗
省略のない途中計算をお願いしますm(_ _)m

回答No.1

jcpmutura

一辺の長さが1の正四面体OABCがある。
辺OA,AB,BC を p :(1-p) (0<p<1)に内分する点をそれぞれL,M,Nとし、
OA↑=a↑,OB↑=b↑,OC↑=c↑とする。

(1)
LはOAをp:(1-p)に内分する点だから
L↑=pa↑
MはABをp:(1-p)に内分する点だから
M↑=(1-p)a↑+pb↑
NはBCをp:(1-p)に内分する点だから
N↑=(1-p)b↑+pc↑

ML↑
=L↑-M↑
=pa↑-{(1-p)a↑+pb↑}
=(2p-1)a↑-pb↑

MN↑
=N↑-M↑
=(1-p)b↑+pc↑-{(1-p)a↑+pb↑}
=(p-1)a↑+(1-2p)b↑+pc↑

|a↑|=|b↑|=1
(a↑・b↑)=(a↑・c↑)=(b↑・c↑)=cos60°=1/2

ML↑・MN↑
={(2p-1)a↑-pb↑}・{(p-1)a↑+(1-2p)b↑+pc↑}
=(2p-1)(p-1)|a↑|^2+{p(1-p)-(2p-1)^2}(a↑・b↑)+p(2p-1)(a↑・c↑)+p(2p-1)|b↑|^2-p^2(b↑・c↑)
=(2p-1)^2/2
=(4p^2-4p+1)/2
=2p^2-2p+1/2

(2)
LN↑
=N↑-L↑
=(1-p)b↑+pc↑-pa↑

|LN↑|^2
=|(1-p)b↑+pc↑-pa↑|^2
=p^2|a↑|^2+(1-p)^2|b↑|^2+p^2|c↑|^2-2p(1-p)(a↑・b↑)+2p(1-p)(b↑・c↑)-2p^2(a↑・c↑)
=p^2+(1-p)^2+p^2-p(1-p)+p(1-p)-p^2
=p^2+(1-p)^2
=2p^2-2p+1
∴
|LN↑|=√(2p^2-2p+1)

(3)
|LN↑|^2=2(p-1/2)^2+1/2≧1/2
p-1/2=0の時|LN↑|^2は最小となるから
p=1/2の時|LN↑|は最小となる

p=1/2の時(1)から
ML↑・MN↑
=|ML||MN|cos∠LMN
=2p^2-2p+1/2
=2(1/2)^2-2/2+1/2
=0
↓
|ML||MN|cos∠LMN=0
↓|ML||MN|>0だから
cos∠LMN=0
↓
∠LMN=90°=π/2
sin∠LMN=sin(π/2)=1

|ML↑|^2=|(2p-1)a↑-pb↑|^2=(2p-1)^2+p^2-p(2p-1)=1/4
|ML↑|=1/2

|MN↑|^2=|(p-1)a↑+(1-2p)b↑+pc↑|^2
=(p-1)^2+(1-2p)^2+p^2+(p-1)(1-2p)+p(1-2p)+p(p-1)
=1/4
|MN↑|=1/2
↓
△LMNの面積
=|△LMN|
=|ML||MN|(sin∠LMN)/2
=|ML||MN|{sin(π/2)}/2
=|ML||MN|/2
=(1/2)(1/2)/2
=1/8