コンデンサーの数を増やすと・・・？

質問

容量Ｃのコンデンサーに電荷Ｑが蓄えられている時の静電エネルギーは
Ｅ＝1/2・ＣＶ＾2＝1/2・Ｑ＾2/Ｃ
は公式からもすぐにわかります。
この回路に同じ容量の電荷のたまっていないコンデンサーを並列につないでいくと、電荷は保存されるからそれぞれのコンデンサーに1/2Ｑずつ分配されるので全静電エネルギーは
Ｅ＝（1/2）Ｃ（Ｑ/2Ｃ）＾2＝1/4・Ｑ＾2/Ｃ
となり先の分の半分になってしまうことがわかる。
すると、このエネルギー減少分はどこにいってしまったのでしょうか？回路の抵抗はこの場合、無視しているので抵抗とは考えられないので、わからないです。

回答No.10

LCR707 · ベストアンサー

＃７です。
　普通、LCR 共振回路における R には、回路の抵抗だけでなく、誘電体損失、磁気に対する渦電流、ヒステリシス損、さらには電磁界放射による損失など、すべての損失を含めて考えます。従って、「R=0と置く」と言えば、損失の無い、いつまでも振動する解が得られます。もし、特別に「電磁界放射は考慮する」のであれば、１回の振動毎に外部に放射されて減少する割合から、等価な抵抗値を求めて、LCR共振回路として解析すれば良いと思います。

　「エネルギー減少分はどこに行ったか」という質問に対しては、「超伝導線を用いて直流抵抗を０にしても、上記のような交流に対する抵抗分は必ずしも０にならないので、それらで消費された」と言うのが回答になるかと思います。

回答No.9

Teleskope

No6ですが、質問者氏が電磁気学で ヘルツ双極子 のあたりまで進めば この問題の真犯人が分かって解決します。　残念ですが いま現在学習中のいわゆる 電気の回路学 だけでは説明不可能なんです。「そんなの有りかよ」と思うかも知れませんが。。万能じゃないんです。

　電気回路学は「回路から電波の形でエネルギが出て行く現実を無視して、それが無いことにしてる」ので、キャパシタンスとインダクタンスでピンポンゲームする図式しか描けないのです。No7の説明のように磁界に変わっても戻ってくるとしか言えず、そこで行き詰まって(現実と合わなくなって)しまいます。
　問題点が見えやすいように意地悪く言うと「LEDに電流が通っても「光は出て行かない」とする学問」なんです（笑）。
　でも我々は、
抵抗の発熱計算とか、電球の明るさと電池の寿命、とか、LEDが光るエネルギは電源回路から出てる、とか平気で「回路学の大前提」を越えて使ってます。
　であるならば、この問題を考えるときだけ「回路学の大前提」を死守しなくてもいいでしょう？ということです。「振動する電磁界がコンデンサからエネルギを持ち去る、帰って来ない」 も 「抵抗が熱くなって基盤を伝わって熱が逃げる、帰ってこない」 も 「LEDのバンドギャップがどうのこうので光子が出て行く、それっきり」も 同じですよね？
以上。

お礼

何回も回答してくださって本当にありがとうございます。
みなさんからの回答からすると、結局、この場合の全エネルギーの減少分は電磁波となって消えていったということでしょうか？？

回答No.8

mmky

#５です。
[コンデンサから別のコンデンサに電荷を移動させた場合に、静電エネルギーが保存されることを期待するのは間違いである]という＃６さんや＃７さんの指摘が正しいんですね。
あそんでしまいました。ごめん。

回答No.7

LCR707

#2,#4です。
　少し基本的な所から説明したいと思います。
　微小な電荷 δQ が、電位差 V の所を移動すれば、そのエネルギーは δE＝ V・δQ になります。
コンデンサは電荷を蓄積するものであり、Q = C・V なので、
　δE = (Q / C)・δQ
より
　E = (1/C)∫Q dQ = (1/2C)Q^2
となり、質問者さんが最初に出した式になります。
これは、微小な電荷δQを少しづつコンデンサに蓄えた結果、蓄積されたエネルギーを表します。そのため、1/2 の係数が付きます。三角形の面積と同じです。決して全電荷量Qをどさっとコンデンサに入れた訳ではありません。（擬音が変かも知れませんが）

　２つのコンデンサを C1,C2とし、その電圧を V1,V2 (V1>V2とします) とすると、C1からC2に微小な電荷δQが移動する場合、エネルギー
　δE = (V1 - V2)δQ
を捨てなければなりません。電線に抵抗があれば、熱エネルギーとして捨てられますし、インダクタンス L があれば、磁気エネルギーに変換して捨てます。（ただし磁気エネルギーの場合、捨てたつもりでも、しばらくすれば電流としてコンデンサに返ってきます）
　抵抗 R もインダクタンス L も０であると仮定すれば、エネルギーの捨て場所が無く、電荷 δQ が移動できなくなります。電位差に比例した周波数の光にでも変換されれば、電線が光って面白いでしょうが、現実にはできません。それにエネルギーを捨てることに変わりはありません。

　つまり、電荷の移動する仕組みを知れば、コンデンサから別のコンデンサに電荷を移動させた場合に、静電エネルギーが保存されることを期待するのは間違いであることがわかります。いったん磁気エネルギーに変えて、後から静電エネルギーに戻すという手順を踏まなければ、静電エネルギーとして保存させることはできません。
　一方、質問の回路で電荷量が保存することは、別に問題ありません。途中に抵抗があってもインダクタンスがあっても、電荷量は保存します。電荷量が保存しないのは、コンデンサに漏れ電流があって、徐々に蓄積された電荷が減ってしまう場合です。

　#5さんが電荷量のほうを変えて計算されていますが、
＞「それぞれのコンデンサーに(1/√2)Ｑずつ分配される」
とすると、総電荷量は (2/√2)Q となり、約1.414倍に増えています。これは外部から電荷、すなわちエネルギーを供給していることになります。

回答No.6

Teleskope

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=826664

　時間がないので上記参考。
途中までしか書かれてませんが、エネルギ保存則、電荷保存則に反しない解は；（古典的な電子の原子軌道の話と同じことで）、エネルギが電磁波として回路外に散逸し、左右等分の定常状態に近付く。です。
　図は閉ループの場合ですが、双極子的な球二つでも同じなことに気付けば奇異感は消えるでしょう。

　いわゆる電気回路学を学ぶ最初に、「回路に交流を流すと現実には電磁波が発生するが、それを「無い」とした学問です」という枕話があるのですが忘れてる人が多いですね、
アンテナなどに慣れてる人なら迷わずすぐ解が浮かぶと思います。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=826664

回答No.5

mmky

参考程度に、
エネルギー保存則は揺るがせませんので、、
「電荷は保存されるからそれぞれのコンデンサーに1/2Ｑずつ分配される」が正しくないのでしょうね。
おのおのの容量に半分ずつのエネルギーが蓄えられると考えるとおのおのの容量にあるエネルギーは、
(1/2)E=1/4・ＣＶ＾2＝1/4・Ｑ＾2/Ｃ
＝1/2・(Ｑ/√2)＾2/Ｃ
つまり、「それぞれのコンデンサーに(1/√2)Ｑずつ分配される」が正しいということになりますね。

回答No.4

LCR707

＃２です。
　電荷のたまっているコンデンサC1と、たまっていないコンデンサC2を、抵抗Rを介して接続して電荷を分配する場合、抵抗R→０にしていくと電流がRに反比例して大きくなり、P= RI^2 より、抵抗による電力消費も大きくなります。
しかし、通電時間がRに比例して短くなるので、結果的にRの大きさにかかわらず、エネルギー損失は一定になります。

　超伝導と見なしてR＝０とすれば、回路のインダクタンスLが効いてくるので、損失は無くなりますが、その代わりいつまでたっても振動が止まらないことになります。

回答No.3

he-goshite-

なるほど，計算上全静電エネルギーが半分になってしまいますね。
２番目のコンデンサーを接続したときに，１番目のコンデンサーから電流が流れて電荷が（瞬間的に）移動しますね。移動量＝(1/2)・Ｑ
無視しているとはいっても，接続線の回路抵抗が実際にはありますから，この電流で抵抗によって消費されたのではないでしょうか？

二つのコンデンサーを接続している回路に無視できない抵抗があっても，安定後の電荷，電圧，容量など，ご質問の各値には変わりありませんよね。

回答No.2

LCR707

抵抗は無視できません。
　実際に抵抗Rを考慮して過渡現象として解析すれば、電荷は保存されますが、エネルギーの半分は抵抗で消費されます。
　R→０として極限を取っても同じです。

　消費されない為には、Rの替わりにLをつなぐ必要があります。

お礼

すみません。
今つないでいるのは抵抗ではなくコンデンサーという設定で考えています。
回路の抵抗は超伝導線によって0にすることができるとします。
すると、エネルギーが減ってしまうわけがわからないのです。（涙）

回答No.1

MetalRack

その代わり容量が２倍になってますから、Ｃ→2Ｃにして計算しましょう。

お礼

ありがとうございます。
すると減少分は容量の増えたコンデンサーに分配されたということでしょうか？
うーん。。。