難しい積分の問題です。

質問

写真の積分の求め方を教えてください。
不完全楕円積分を使えば求まるような気がしているのですが。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

a>b>0
θ1=x
θ2=y
S=∫_{0～π}∫_{0～π}(sinxsiny/√[{a+bcos(x+y)}{a+bcos(x-y)}])dxdy
0<y<πのとき
z=(bcosx+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}
とすると
dz=[-bsinx/{(siny)√(a^2-b^2)}]dx
(-1/b){√(a^2-b^2)}(siny)dz=(sinx)dx

x=0のときz=z0とすると
z0=(b+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}
x=πのときz=z1とすると
z1=(-b+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}

(a^2-b^2)(z*siny)^2=(bcosx+acosy)^2
↓
{a+bcos(x+y)}{a+bcos(x-y)}
=a^2+ab{cos(x+y)+cos(x-y)}+b^2cos(x+y)cos(x-y)
=a^2+2abcosxcosy+b^2{cos(2x)+cos(2y)}/2
=a^2+2abcosxcosy+b^2{(cosx)^2+(cosy)^2-1}
=a^2+2abcosxcosy+(bcosx)^2-(bsiny)^2
=(bcosx+acosy)^2+(a^2-b^2)(siny)^2
=(a^2-b^2)(z*siny)^2+(a^2-b^2)(siny)^2
=(a^2-b^2)(siny)^2(1+z^2)
↓
√[{a+bcos(x+y)}{a+bcos(x-y)}]=siny√{(a^2-b^2)(1+z^2)}
↓
S=(-1/b)∫_{0～π}(siny)∫_{z0～z1}{1/(1+z^2)}dzdy
S=(1/b)∫_{0～π}(siny)∫_{z1～z0}{1/(1+z^2)}dzdy

t=log{z+√(1+z^2)}
とすると
dt={1/√(1+z^2)}dz

z=z0=(b+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}
のときt=t0とすると
t0
=log{z0+√(1+z0^2)}
=log[(b+acosy+a+bcosy)/{siny√(a^2-b^2)}]
=log[(a+b)(1+cosy)/{siny√(a^2-b^2)}]
=log(a+b)+log(1+cosy)/{siny√(a^2-b^2)}]

z=z1=(-b+acosy)/{(siny)√(a^2-b^2)}
のときt=t1とすると
t1=log{z1+√(1+z1^2)}
=log[(a-b)(1+cosy)/{siny√(a^2-b^2)}]
=log(a-b)+log(1+cosy)/{siny√(a^2-b^2)}]
↓
t0-t1
=log(a+b)-log(a-b)
=log{(a+b)/(a-b)}

S=(1/b)∫_{0～π}(siny)∫_{t1～t0}dtdy
S=(1/b)∫_{0～π}(siny)(t0-t1)dy
S=([log{(a+b)/(a-b)}]/b)∫_{0～π}(siny)dy
S=([log{(a+b)/(a-b)}]/b)[-cosy]_{0～π}
S=2[log{(a+b)/(a-b)}]/b
∴
S=
(2/b)log{(a+b)/(a-b)}

お礼

積分の仕方、教えてくださり、本当にありがとうございました。実は検算にえらく時間がかかってしまってお礼が遅れました。申し訳ありません。
それにしても、どうしたらjcpmuturaさんのようにこのような超絶的な積分ができるようになるのか、教えていただけないでしょうか？