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解き方を教えてください
自分で解いたのがあってるかわからないので教えてください。 よろしくお願いします。 １ 次の関数の孤立特異点における留数を求める ｆ(z)=ｚ＋ｉ／ ｚ^２－２ｚ+２ 1 ｃ：｜ｚ－１｜=２の時、次の積分の値は？ 積分路は反時計回りとする。 ∫ｃ（sinｚ／ｚ^２-４）ｄｚ （ｚ^２-４は分母・sinｚは分子です） よろしくお願いします。
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まず、数式は正しく書いてください。 f(z)=(z+i)/(z^2-2z+2) と解釈します。 f(z)の極は、z=1±i で、 z=1+i におけるf(z)の留数は、 Res(f, 1+i)=lim[z to 1+i](z-(1+i))*f(z)=lim(z+i)/{z-(1-i)}=1 - i/2. Res(f, 1-i) の計算も同様。 2) f(z)=sinz/{z^2 - 4} とします。 Cの内部にあるf(z)の極は、z=2 だけであり、Res(f, 2)=(1/4)*sin(2). よって、積分の値は、 2pi*i*Res(f,2)=(pi*i/2)*sin(2).
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- info222_
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>自分で解いたのがあってるかわからないので教えてください。 解いたのであれば解答を書いてください。 書いてくれないと誤り箇所をチェックできません。 >１ 次の関数の孤立特異点における留数を求める > ｆ(z)=(ｚ＋ｉ)／(ｚ^２-2ｚ+２) 孤立特異点：z^2-2z+2=0, z=1±i z=1+iにおける留数Res(1+i)=(z+i)/(z-1+i)|(z=1+i)=(1+2i)/(2i)=1-i /2 z=1-iにおける留数Res(1-i)=(z+i)/(z-1-i)|(z=1-i)=1/(-2i)= i /2 >2 ｃ：｜ｚ－１｜=２の時、次の積分の値は？ > 積分路は反時計回りとする。 積分路C:z=1を中心とする半径2の円周 > ∫ｃ sin(z)／(z^2-4) dz sin(z)／(z^2-4) =f(z) 孤立特異点：z^2-4=(z+2)(z-2)=0 → z=±2 積分路C内の孤立特異点はz=2のみ。 Res(2)=sin(z)/(z+2)|(z=2)=sin(2)/4 ∫ｃ sin(z)／(z^2-4) dz =2πi*Res(2)= sin(2)/4 = i πsin(2)/2 ...(答)
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