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複素数
I=∫ｃ（z-sinz)/(1-cosz)^2dz c：|z|=1 Iを求めよ。 という問題で、どうやれば解けるのかがわからなくて（特異点はz=0であると思うのですが、留数の求め方がわかりません）困ってます。わかる方がいらっしゃいましたらお願いします。 解は4πi/3です。
- plmkoplmko
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1-cos(z)=0 ∴z=2nπ（nは整数） 積分路は半径1の円なので円内の一位の特異点は x=0のみなので x=0における留数は以下の計算で求まります。 Res(0)=lim[z→0] z(z-sin(z))/(1-cos(z))^2 =lim[z→0] z(z-sin(z))/(2sin^2 (z/2))^2 =lim[z→0] z(z-sin(z))/{4(z/2)^4*(sin(z/2)/(z/2))^4} =lim[z→0] z(z-sin(z))/{4(z/2)^4} =lim[z→0] 4(z-sin(z))/z^3 =lim[z→0] 4(1-cos(z))/(3z^2) (∵ロピタルの定理適用) =lim[z→0] 4sin(z)/(6z) (∵ロピタルの定理適用) =(2/3)lim[z→0] sin(z)/z =2/3 留数定理より I=2πi*Res(0)=4πi/3
その他の回答 (2)
1-cos(z)=(z^2)f(z) z-sin(z)=(z^3)g(z) としたとき、 g(z)/(f(z)^2)が原点の近傍で正則であることとからコーシーの積分公式が使えます。
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とてもわかりやすかったです。ありがとうございます！