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関数論の基本的なことがわかりません
次の複素積分を求めよ。 Ｃを正方向にもつ円｜z－ｉ｜＝１としたとき∫（ｃ’ｚ/(z-i)dz） という問題が教科書等を見ても解りません。 分母がニ次式の場合は解るのですが、分母が一次式になると解りません。 分母が一次式の場合、分子のｚの処理の仕方を教えてください。
- mapletrees
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#1,#3,#4です。 A#4について A#4の引用は修正してありますので 修正した通りで良いですよ。 コーシーの積分公式は留数を求めていることになります。
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- alice_44
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仮分数を帯分数になおして、z/(z-i) = 1 + i/(z-i) と書けば、 被積分関数のローラン展開が済んだことになり、 z = i における留数は i であることが、ひと目で判る。 後は、留数定理に当てはめるだけ。(…と、A No.2 が言っている。)
- info22_
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>ｆ(z)=z > コーシーの積分公式より > (1/(2πi))∫[c] z/(z-i)dz = f(i) = i >∴ ∫[c] z/(z-i))dz = -2π >この解き方でもいいですか。
- info22_
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#1です。 A#1の補足質問について >コーシー定理は、使えませんか？ コーシー定理は複素積分とは全く無関係な定理（群論関係）です。 用語を正しく使うこと。 コーシーの積分定理（参考URL）は正則な領域での定理なので使えません。 コーシーの積分公式はA#1で留数を求めるのに使っています。 留数が求まってから、その留数を使って積分値を求める式が留数定理です。 教科書や参考書、講義ノートでよく復習しておいてください。
お礼
解説、ありがとうございます。 ｆ(ｚ)＝ｚ コーシーの積分表示より 1/2πｉ∫(c,z/(z-i))=f(i)=i ∴ ∫(c,z/(z-i))=-2π この解き方でもいいですか。
- Tacosan
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割る.
- info22_
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>分母が一次式の場合、分子のｚの処理の仕方を教えてください。 何が分からないのでしょうか？ 留数は Res(i)=lim[z->i]{z/(z-i)}(z-i)=lim[z->i]z=i となるので留数定理より ∫[C:|z-i|=1|ｚ/(z-i)dz = 2πi Res(i)=-2π
お礼
ありがとうございます。 コーシー定理は、使えませんか？
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