区分求積の途中の計算が分かりません

質問

『高校数学＋α：基礎と論理の物語』（著: 宮腰忠）という書籍が著者御本人により、

大学数学へのかけ橋！『高校数学＋α：基礎と論理の物語』トップページ
http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/

というサイトで、全文PDFファイルで公表されていて読んでいるのですが、

第14章 積分
http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/ch_14.pdf

の426ページ（書籍全体でのページ数です）に

――――――――――――――――――――――――――――――
この区分求積を S (b) と書くと，前の §§の S_[M]，S_[m] に対応して

S(b) = lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　f(x_[k-1] )∆x，

または

S(b) = lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　f(x_[k] )∆x，

で与えられます．どちらで計算しても

S(b) = (1/2)mb(b-2a)

となるのを確かめるのは君の仕事です．
――――――――――――――――――――――――――――――

という文があるのですが、どうすれば (1/2)mb(b-2a) になるのか分かりません。
※ ここには426ページの文章の一部しか載せていないので、上記 PDF を読んでいただいた方が分かりやすいと思います。

∆x = b/n

x_[k] = kΔx = k(b/n)

x_[k-1] = (k-1)Δx = (k-1)(b/n)

f(x_[k] ) = m(x_[k] - a)

f(x_[k-1] ) = m(x_[k-1] - a)

として

S(b) = lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　f(x_[k-1] )∆x
や
S(b) = lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　f(x_[k] )∆x

に代入して色々と変形させているのですが上手くいきません。

どういう風に式を変形すれば良いのか、又は前提が間違っているのか、お分かりになる方がいらっしゃいましたら回答宜しくお願いします。

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

疑問は f(x_[k-1] ) の場合と f(x_[k] ) の場合に共通の疑問なので f(x_[k-1] ) の場合で質問させていただきます。

lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　{(mb^2/n^2)(k-1)-(mab/n)}
から
lim_[n→∞]　{(mb^2)/n^2)×(1/2)n(n-1)-(mab/n)×n}
になる過程で
(k-1) が (1/2)n(n-1) になっているのは分かるのですが、(mab/n) の更に右にある ×n は何処から出てきたのでしょうか？

　　　　　↓↓↓

∑_[k=1]^[n]　{(mb^2/n^2)(k-1)-(mab/n)}
=∑_[k=1]^[n]　(mb^2/n^2)(k-1)　-　∑_[k=1]^[n]　(mab/n)

とすると

後ろの項は、　《　k　》　がないので、　《　定数　》　の和になります。

つまり、
∑_[k=1]^[n]　(mab/n)
=(mab/n)+(mab/n)+(mab/n)+・・・・・・+(mab/n) （⇦　(mab/n) が n 個）
=(mab/n)×n
です。

(1/2)(mb^2)-mab　
から
(1/2)mb(b-2a)
になっていますが、どうしてこうなるのか分かりません。
逆に (1/2)mb(b-2a) を展開しても (1/2)mb^[2]-2ab になる気がするのですが。

　　　　　↓↓↓

(1/2)(mb^2)-mab
=(1/2)(mb^2)-(1/2)×2mab　（⇦　(1/2) でくくるために　(1/2)×2mab　とする）
1/2　でくくると
=(1/2)(mb^2-2mab)
さらに、 mb　でくくると
=(1/2)mb(b-2a)
と、式変形できます。

(1/2)mb(b-2a) を展開すると
(1/2)(mb^2)-mab
になります。　
2 が約分できるし、m を忘れています。

お礼

お礼を間違えて一つ目の回答につけてしまってました。

重ね重ねすみません。

回答No.1

atkh404185

S(b) = lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　f(x_[k-1] )∆x
= lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　m(x_[k-1]-a)・(b/n)
= lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　m{(k-1)・(b/n)-a}・(b/n)
= lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　{(mb^2/n^2)(k-1)-(mab/n)}
= lim_[n→∞]　{(mb^2)/n^2)×(1/2)n(n-1)-(mab/n)×n}
= lim_[n→∞]　{(1/2)(mb^2)/n)(n-1)-(mab/n)×n}
= lim_[n→∞]　[{(1/2)(mb^2){1-(1/n)}-mab]
= (1/2)(mb^2)-mab　
= (1/2)mb(b-2a)

S(b) = lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　f(x_[k] )∆x
= lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　m(x_[k]-a)・(b/n)
= lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　m{k・(b/n)-a}・(b/n)
= lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　{(mb^2/n^2)k-(mab/n)}
= lim_[n→∞]　{(mb^2)/n^2)×(1/2)n(n+1)-(mab/n)×n}
= lim_[n→∞]　{(1/2)(mb^2)/n)(n+1)-(mab/n)×n}
= lim_[n→∞]　[{(1/2)(mb^2){1+(1/n)}-mab]　
= (1/2)(mb^2)-mab　
= (1/2)mb(b-2a)
と計算できます。

お礼

なるほど。「Σ記号は積で繋がっている範囲まで作用する」というルールを忘れていて、∆x を除いてしまっていました。

二つ目も ab(c-d) = abc-abd という法則を abc-bd という妙な法則にしてしまってました。ちゃんと考えれば分かる事でした。

それから一度目の回答に間違って「-1」支持を押してしまいました。申し訳ありません。

最後に、二度に渡って丁寧に説明していただき、本当にありがとうございました。ベストアンサーにさせていただきます。

補足

回答ありがとうございます。
しかし、2点分からない所があったので質問させてください。

疑問は f(x_[k-1] ) の場合と f(x_[k] ) の場合に共通の疑問なので f(x_[k-1] ) の場合で質問させていただきます。

lim_[n→∞]　∑_[k=1]^[n]　{(mb^2/n^2)(k-1)-(mab/n)}
から
lim_[n→∞]　{(mb^2)/n^2)×(1/2)n(n-1)-(mab/n)×n}
になる過程で

(k-1) が (1/2)n(n-1) になっているのは分かるのですが、(mab/n) の更に右にある ×n は何処から出てきたのでしょうか？

もう一つの質問は、最後に

(1/2)(mb^2)-mab　
から
(1/2)mb(b-2a)
になっていますが、どうしてこうなるのか分かりません。
逆に (1/2)mb(b-2a) を展開しても (1/2)mb^[2]-2ab になる気がするのですが。

お手数お掛けしますが、可能であれば回答宜しくお願いします。