放物線の区分求積の途中計算について

質問

『高校数学＋α：基礎と論理の物語』（著: 宮腰忠）という書籍がPDFファイルになったもの↓

第14章 積分
http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/ch_14.pdf

を読んでいるのですが、428ページ3行目からの、

S_[M]　=　∑_[k=1]^[n] {a+kΔx}^[2] Δx
= ∑_[k=1]^[n] { a^[2] + 2akΔx + k^[2](Δx)^[2] } Δx　

ここまでは分かるのですが、ここからの

= { a^[2]n + 2a(1/2)n(n+1)Δx + (1/6)n(n+1)(2n+1)(Δx)^[2] } Δx
→ { a^[2] + a(b-a) + (1/3)(b-a)^[2] } (b-a)　=　(1/3)(b^[3]-a^[3])　(n→∞)

となる所が分かりません。
途中の計算などを細かく教えてください。

宜しくお願いします。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

#1です。

級数の和の以下の公式によります。

∑[k=1→n][1]=n

∑[k=1→n][k]=n(n+1)/2

∑[k=1→n][k^2]=n(n+1)(2n+1)/6

下記のurlのp2「累乗の和の公式」を見てください。教科書にも必ず書いてあります。見直してください。

http://www.osaka-c.ed.jp/shijonawate/pdf/yuumeimondai/suuretu_17.pdf

補足

回答ありがとうございます。返事が遅れて申し訳ありません。

∑_[k=1]^[n] k^2　を、∑_[k=1]^[n] k　の答えを2乗したものという間違った解釈をしていました。
∑_[k=1]^[n] k^2 = (1/6)n(n+1)(2n+1)　理解出来ました。

質問が多くて申し訳ないのですが、回答No.1にした補足質問の、もう一個の質問の方も教えていただいて宜しいでしょうか？

∑_[k=1]^[n] { a^[2] + 2akΔx + k^[2](Δx)^[2] } Δx

の数列の計算をすると、

{ a^[2]n + 2a(1/2)n(n+1)Δx + (1/6)n(n+1)(2n+1)(Δx)^[2] } Δx・n

の様に、一番右の Δx も n個 になるような気がしてしまいます（上記の計算は細長い長方形を足し合わせる作業ですよね？　だとしたら長方形の幅である Δx も n個 必要な気がします）。

すると、[(b-a)/n]n = (b-a)　と n が消えてしまい、左側の複数の n を消す作業をどうしたら良いのか分からなくなってしまいます。

{ a^[2] + 2a(1/2)(n+1)Δx + (1/6)(n+1)(2n+1)(Δx)^[2] } (b-a)

となって以降の計算は分かり、無事　( b^[3]-a^[3] )/3　まで辿り着きました。

何度も質問申し訳ないですが、良ければ回答お願い致します。

回答No.1

bran111

Δx=(b-a)/nを用いて計算しています。

S= { a^[2]n + 2a(1/2)n(n+1)Δx + (1/6)n(n+1)(2n+1)(Δx)^[2] } Δx

= { a^[2] + 2a(1/2)(n+1)Δx + (1/6)(n+1)(2n+1)(Δx)^[2] } nΔx

={ a^[2] + 2a(1/2)(n+1)Δx + (1/6)(n+1)(2n+1)(Δx)^[2] } (b-a)

={ a^[2] + 2a(1/2)(n+1)(b-a)/n + (1/6)(n+1)(2n+1)((b-a)/n)^[2] } (b-a)

={ a^[2] +[(n+1)/n]a(b-a) + [(1/6)(n+1)(2n+1)/n^2](b-a)^2 } (b-a)

lim(n→∞)S

=lim(n→∞){ a^[2] +[(n+1)/n]a(b-a) + [(1/6)(n+1)(2n+1)/n^2](b-a)^2 } (b-a)

={ a^[2] +a(b-a) +(1/6)2(b-a)^2 } (b-a)

=[ab+(b-a)^2/3](b-a)

=[3ab+a^2-2ab+b^2](b-a)/3

=(a^2+ab+b^2)(b-a)/3

=(b^3-a^3)/3

lim(n→∞)[(n+1)/n}=1

lim(n→∞)[(2n+1)(n+1)/n^2}=2

は解りますか。

補足

回答ありがとうございます。

lim(n→∞)[(n+1)/n}=1
と
lim(n→∞)[(2n+1)(n+1)/n^2}=2

は分かります。

しかしそれより前の段階の、

∑_[k=1]^[n] { a^[2] + 2akΔx + k^[2](Δx)^[2] } Δx

の　k^[2](Δx)^[2]　の部分が

(1/6)n(n+1)(2n+1)(Δx)^[2]

となる所が分かりません。

k　は　(1/2)n(n+1)　に変わるので、2乗すると、

(1/4)n^[2] (n+1)^[2] (Δx)^[2]

となる気がするのですが。

あともう一つ、

∑_[k=1]^[n] { a^[2] + 2akΔx + k^[2](Δx)^[2] } Δx

で、一番右の Δx は短冊状になった長方形の幅ですよね？
だとしたら n個 足し合わせるので　Δx・n　になると思うのですが、PDFファイルでは、

∑_[k=1]^[n] { a^[2] + 2akΔx + k^[2](Δx)^[2] } Δx　
= { a^[2]n + 2a(1/2)n(n+1)Δx + (1/6)n(n+1)(2n+1)(Δx)^[2] } Δx

となっており、この時点で n が付いていないのが気になります。