6枚の白紙の札を横1列に並べ、左から順に1から6

質問

6枚の白紙の札を横1列に並べ、左から順に1から6の番号をつける。
1個のさいころを投げ、出た目の番号の札を裏返す ( すでに裏だったときは表にする ) という操作を繰り返す。
すべて表の状態から操作を3回行ったとき、裏の札が1枚になる確率は□である。

ーーーーーーーーーーーーーー

という問題が分かりません。
解答を見ると場合分けで解いていて、

裏の札が1枚になるのは、

( i )3回とも同じ目が出る
( ii )2種類の目が出る

のいずれか。

( i )のときは 6 (通り)
( ii )のときは 6C2 × 2 × 3!/2! = 90 (通り)

と解答には書いてあり、
( i )はなんとか自力で出せたのですが、
( ii )がどうしても分かりません。
"6C2" "2" "3!/2!" とは、それぞれ何を表しているのでしょうか？
回答お願いいたします。

回答No.1

atkh404185

はじめの札の状態は

　　裏は０枚

ですね。

３回行ったとき、裏の枚数を考えると、

　　（ア）　０　→　１　→　２　→　３

　　（イ）　０　→　１　→　２　→　１

　　（ウ）　０　→　１　→　０　→　１

の３通りあります。

　　　１回行うごとに、裏の枚数が１枚増えるか、減るかのどちらか

だからです。

　　　０枚のときは１枚増えるしかないですね。

このうち、裏が１枚になるのは

（イ）の場合と（ウ）の場合になります。

（ウ）の場合は、質問にある　(i) ３回とも同じ目が出る

場合であり、これは

　　６通り

（イ）の場合は、質問にある　(ii) ２種類の目が出る

場合です。

この場合の数の求め方は、

まず、

さいころの目の出方は１～６の６個ある。

２種類の目が出ることから、この６個の中から２個を選ぶことになるから

　　6Ｃ2　通り　・・・・・・（Ｘ）

になります。

　　　（組合せ）　n 個のものの中から異なる r 個のものを取り出して作る組合せを

　　　　　　　　　　n 個から r 個とる組合せといい、その総数を nＣr で表します。

次に、出る２種類の目が決まれば、（この２種類の目をＡ、Ｂとします。）

さいころを３回投げるので、どちらかの目が２回出ることになります。

　　(1)　Ａの目が２回出る。（Ｂは１回出る）

　　(2)　Ｂの目が２回出る。（Ａは１回出る）

この場合が

　　２ 通り　　・・・・・・（Ｙ）

になります。

最後に、それぞれの目の出る順番を考えます。

　　(1)は　Ａ，Ａ，Ｂ　を一列に並べる。

　　(2)は　Ａ，Ｂ，Ｂ　を一列に並べる。

ことになります。　(1)、(2)は同じ数になります。

この場合の数が

　　3 !/2 !1 !　通り　・・・・・・（Ｚ）　（←　公式どおりに当てはめて・・・

　　　　　　　　　　　　　1! を書かない(省略する)人もいます。この場合　3 !/2 !　です）

になります。

　　　（同じものを含む順列）　n 個のうち、同じものがそれぞれ　p 個、q 個、r 個、・・・・・・

　　　　　　　　　　　　　　　あるとき、これら n 個を一列に並べる順列（場合の数）は

　　　　　　　　　　　　　　　n !/p !q !r !・・・・・・　　ただし、 p+q+r+ ・・・・・・ =n

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↑↑↑

　　　　具体例で、a,a,a,a,b,b,b,c,c の９文字を一列に並べる並べ方は

　　　　　　　　　9 !/4 !3 !2! 　になります。　（←　a が 4 個、b が 3 個、c が 2 個）

以上、（Ｘ），（Ｙ），（Ｚ）より

　　6Ｃ2×2×3 !/2 !=6・5/2・1×2×3・2・1/2・1=90 （通り）

になります。

（補足）Ａ，Ａ，Ｂ　を一列に並べる場合

　１つの文字であるＢの並べ方を考えればすぐに　３　通りであることがわかると思います。

　　ＡＡＢ、ＡＢＡ、ＢＡＡ　の３通り

　　（Ｂが３番目に並ぶ、2番目に並ぶ、１番目に並ぶ）

だから

　　6Ｃ2×2×3=6・5/2・1×2×3=90 （通り）

と式を書いて計算してもよいです。