6枚の白紙の札を横1列に並べ、左から順に1から6

質問

6枚の白紙の札を横1列に並べ、左から順に1から6の番号をつける。
1個のさいころを投げ、出た目の番号の札を裏返す ( すでに裏だったときは表にする ) という操作を繰り返す。
すべて表の状態から操作を3回行ったとき、裏の札が1枚になる確率は□である。

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という問題が分かりません。
解答を見ると場合分けで解いていて、

裏の札が1枚になるのは、

( i )3回とも同じ目が出る
( ii )2種類の目が出る

のいずれか。

( i )のときは 6 (通り)
( ii )のときは 6C2 × 2 × 3!/2! = 90 (通り)

と解答には書いてあり、
( i )はなんとか自力で出せたのですが、
( ii )がどうしても分かりません。
"6C2" "2" "3!/2!" とは、それぞれ何を表しているのでしょうか？
回答お願いいたします。

回答No.3

bamboo008

aの目が2回，bの目が1回出るとします。
a,bの選び方 6P2 通り（上の解答では，6C2×2 通りと数えている）
a が何回目に出たか　3C2 通り（上の解答では，3!/2! 通りと数えている）
ゆえに，
6P2×3C2 通り
とした方が良いですね。

回答No.2

noname#215361

1個のさいころを3回投げたときの目の出方は、次の3通り

（i）3回とも同じ目が出る
（ii）2種類の目が出る
（iii）3回とも異なる目が出る

このうち、（iii）の場合には、裏の札が3枚になるので除外

（i）3回とも同じ目が出る
1の目が3回出る場合から6の目が3回出る場合までの6通り

（ii）2種類の目が出る
1～6の目の中から、重複を除いて2種類の目の出方は、
1の目が出る場合は、1－2、1－3、1－4、1ー5、1－6の5通り
2の目が出る場合は、2－3、2－4、2－5、2ー6の4通り
3の目が出る場合は、3－4、3－5、3－6の3通り
4の目が出る場合は、4－5、4－6の2通り
5の目が出る場合は、5－6の1通り
これらの合計は、5+4+3+2+1=15通り
これが、 6C2 になる

1－2の目が出る場合、3回中1の目が2回（2の目が1回）出る出方は、3C2=3C1=3通り
1－2の目が出る場合、3回中1の目が1回（2の目が2回）出る出方は、3C1=3C2=3通り
（2回目が出た方は、裏返った後で、また表に戻る。）
これが、3C2（または3C1）×2（上の2通り）=3!/｛2!（3－2）!｝×2=3!/2!×2=6通りになる

よって、この場合には、6C2×3!/2!×2=90通りになる
なお、3!/2!は、3C2（または3C1）と表記した方が分かりやすいかと思われる
また、×2は式の最後にすべきである
例えば、1個100円のものを5個買ったときの合計金額は、100×5=500円とすべきであって、
5×100=500円としたのでは、答えは正しくても式は誤りである

回答No.1

atkh404185

はじめの札の状態は

　　裏は０枚

ですね。

３回行ったとき、裏の枚数を考えると、

　　（ア）　０　→　１　→　２　→　３

　　（イ）　０　→　１　→　２　→　１

　　（ウ）　０　→　１　→　０　→　１

の３通りあります。

　　　１回行うごとに、裏の枚数が１枚増えるか、減るかのどちらか

だからです。

　　　０枚のときは１枚増えるしかないですね。

このうち、裏が１枚になるのは

（イ）の場合と（ウ）の場合になります。

（ウ）の場合は、質問にある　(i) ３回とも同じ目が出る

場合であり、これは

　　６通り

（イ）の場合は、質問にある　(ii) ２種類の目が出る

場合です。

この場合の数の求め方は、

まず、

さいころの目の出方は１～６の６個ある。

２種類の目が出ることから、この６個の中から２個を選ぶことになるから

　　6Ｃ2　通り　・・・・・・（Ｘ）

になります。

　　　（組合せ）　n 個のものの中から異なる r 個のものを取り出して作る組合せを

　　　　　　　　　　n 個から r 個とる組合せといい、その総数を nＣr で表します。

次に、出る２種類の目が決まれば、（この２種類の目をＡ、Ｂとします。）

さいころを３回投げるので、どちらかの目が２回出ることになります。

　　(1)　Ａの目が２回出る。（Ｂは１回出る）

　　(2)　Ｂの目が２回出る。（Ａは１回出る）

この場合が

　　２ 通り　　・・・・・・（Ｙ）

になります。

最後に、それぞれの目の出る順番を考えます。

　　(1)は　Ａ，Ａ，Ｂ　を一列に並べる。

　　(2)は　Ａ，Ｂ，Ｂ　を一列に並べる。

ことになります。　(1)、(2)は同じ数になります。

この場合の数が

　　3 !/2 !1 !　通り　・・・・・・（Ｚ）　（←　公式どおりに当てはめて・・・

　　　　　　　　　　　　　1! を書かない(省略する)人もいます。この場合　3 !/2 !　です）

になります。

　　　（同じものを含む順列）　n 個のうち、同じものがそれぞれ　p 個、q 個、r 個、・・・・・・

　　　　　　　　　　　　　　　あるとき、これら n 個を一列に並べる順列（場合の数）は

　　　　　　　　　　　　　　　n !/p !q !r !・・・・・・　　ただし、 p+q+r+ ・・・・・・ =n

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↑↑↑

　　　　具体例で、a,a,a,a,b,b,b,c,c の９文字を一列に並べる並べ方は

　　　　　　　　　9 !/4 !3 !2! 　になります。　（←　a が 4 個、b が 3 個、c が 2 個）

以上、（Ｘ），（Ｙ），（Ｚ）より

　　6Ｃ2×2×3 !/2 !=6・5/2・1×2×3・2・1/2・1=90 （通り）

になります。

（補足）Ａ，Ａ，Ｂ　を一列に並べる場合

　１つの文字であるＢの並べ方を考えればすぐに　３　通りであることがわかると思います。

　　ＡＡＢ、ＡＢＡ、ＢＡＡ　の３通り

　　（Ｂが３番目に並ぶ、2番目に並ぶ、１番目に並ぶ）

だから

　　6Ｃ2×2×3=6・5/2・1×2×3=90 （通り）

と式を書いて計算してもよいです。