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※再三のミスでまことに申し訳ありません。今度はタイプミスです。 (第二問)の最後で、 V=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{1+sinφ*cosφ} =∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{2+sin(2φ)} =pi/(2√3). となりました。ご確認ください。 何度も書き直し、大変失礼いたしました。
※再三のミスでまことに申し訳ありません。 (第二問)の最後で、 V=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{1+sinφ*cosφ} =pi/√3. となりました。ご確認ください。
※先に計算しました結果に計算ミスがありました。お詫びして訂正します。 (第二問) ・・・ V=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{(sin(φ/2)+cos(φ/2)}^2 =(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{√2*cos(φ/2 - pi/4)}^2 =(1/4)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{cos(φ/2 - pi/4)}^2. tan(φ/2 - pi/4)=u とおいて、 V=(1/4)∫[-3pi/8 to -pi/8]2*du=pi/8. この最後の部分で、積分範囲を置換していませんでした。 正しくは、 V=(1/4)∫[tan(-3pi/8) to tan(-pi/8)] 2du=(1/2){tan(3pi/8) - tan(pi/8)} =(1/2)*{(√2+1)-(√2-1)}=1. となりました。
1) D={(x, y)|(x-1/2)^2+y^2≦9/4, z=0} とすると求める立体の体積Vは、 V=∫∫[D]{(x+2)-(x^2+y^2)}dxdy =∫[-1 to 2]{∫[-√{9/4-(x-1/2)^2} to √{9/4-(x-1/2)^2}}](2+x-x^2-y^2)dy}dx. ∫[-√{9/4-(x-1/2)^2} to √{9/4-(x-1/2)^2}}](2+x-x^2-y^2)dy =2∫[0 to √{9/4-(x-1/2)^2}}](2+x-x^2-y^2)dy =2[(2+x-x^2)y - (1/3)y^3] =2*{(2+x-x^2)*√(2+x-x^2) - (1/3)√(2+x-x^2)^(3/2)}=(4/3)*{2+x-x-2}^(3/2). ですから、 V=(4/3)*∫[-1 to 2](2+x-x^2)^(3/2)dx=(4/3)*∫[-1 to 2]{9/4 - (x-1/2)^2}^(3/2)dx x-1/2=(3/2)*cosφ、(|φ|≦pi/2) と置き換えて、 (27/2)*∫[0 to pi/2](cosφ)^4*dφ=(27/2)*(3/4)*(1/2)*pi/2)=(81/32)*pi. 2) 極座標へ変換して、 V=∫[-pi/4 to pi/4]{∫[0 to ∞] e^{-r^2-r^2*cosφ*sinφ}*rdr}dφ. ∫[0 to ∞] e^{-r^2-r^2*cosφ*sinφ}*rdr=lim[R to ∞]∫[0 to R]e^{-r^2(1+cosφ*sinφ)}*rdr ∫[0 to R]e^{-r^2(1+cosφ*sinφ)}*rdr={1/(2(1+sinφ*cosφ))}*{1 - e^{-R^2(1+sinφ*cosφ)}} →1/{2(1+sinφ*cosφ)}. ですから、 V=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{(sin(φ/2)+cos(φ/2)}^2 =(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{√2*cos(φ/2 - pi/4)}^2 =(1/4)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{cos(φ/2 - pi/4)}^2. tan(φ/2 - pi/4)=u とおいて、 V=(1/4)∫[-3pi/8 to -pi/8]2*du=pi/8. となりました。
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(1) 空間内のx^2+y^2≦z≦x+2 で定義される領域の体積V V=∫∫∫[x^2+y^2≦z≦x+2] dxdydz 積分領域の立体がx-z座標軸平面(x=0)に対称なので V=2∫∫[x^2+y^2≦x+2, y≧0] (x+2-(x^2+y^2))dxdy この積分領域Dは半円盤 (x-1/2)^2+y^2≦9/4 (y≧0) なので D={(x,y)|x^2+y^2≦x+2,y≧0} ={(x,y)| -1≦x≦2, 0≦y≦√(3/2)^2-(x-1/2)^2) = {(x,y)| 0≦y≦1/2, 1/2-√((3/2)^2-y^2)≦x≦1/2+√((3/2)^2-y^2)}, V=2∫[0,1/2]dy ∫[1/2-√((3/2)^2-y^2), 1/2+√((3/2)^2-y^2)] (x+2-(x^2+y^2))dx =2∫[0,1/2]dy {[x^2+2x-x^3/3-xy^2][1/2-√((3/2)^2-y^2), 1/2+√((3/2)^2-y^2)]} =∫[0,1/2] {3√(9-4y^2)-(4/3)y^2√(9-4y^2)}dy =[(81/16)sin^-1(2y/3)+(y/12)(9-4*y^2)^(3/2)+(9y/8)√(9-4y^2)][0,1/2] =(81/16)sin^-1(1/3)+(43/24)√2 ...(答) (2) 極座標変換 x=rcosθ , y=rsinθ による変数変換すると 積分範囲Dは D={(x,y)| x≧0,-x≦y≦x} ={(r,θ)|0≦r, -π/4≦θ≦π/4} 対称性より D'={(x,y)| x≧0,0≦y≦x} ={(r,θ)|0≦r, 0≦θ≦π/4} I=∫∫[D]{e^(-(x^2+xy+y^2)) }dxdy =2∫∫[D']{e^(-(x^2+xy+y^2)) }dxdy =2∫∫[D']{e^(-r^2(1+sin(2θ)/2)) } rdrdθ =2∫[θ:0,π/4] dθ {[-1/(2(1+sin(2θ)/2))e^(-r^2(1+sin(2θ)/2))][r:0,∞]} =∫[0,π/4] {1/(1+sin(2θ)/2)}dθ =[(2/√3)tan^-1((2sin(2θ)+cos(2θ)+1)/(√3(cos(2θ)+1)))][0,π/4] =(2/√3)(tan^-1(√3)-tan^-1(2/√3)) =π(√3/9) ...(答)
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