3重積分にて体積を求める際の領域の移る先

質問

3重積分で体積を求める問題についてですが、空間図形として表される領域Vの体積は∫∫∫dxdydzをVの範囲で積分したもので表されます。
これを条件の式に応じて変数変換するときにV上の点がどう対応してどういう積分範囲に変化するのかがわかりません。
たとえば、手持ちのテキストには
原点中心の球であるV:(x^2)+(y^2)+(z^2)<=(a^2)を極座標変換すると
V上の点は0≦r≦a,0≦θ≦π,0≦φ≦πに対応する、とありますが理由がわからないのです。
どういうプロセスで範囲を定めてやればいいのでしょうか？

回答No.1

info22

>原点中心の球であるV:(x^2)+(y^2)+(z^2)<=(a^2)を極座標変換すると
V上の点は0≦r≦a,0≦θ≦π,0≦φ≦πに対応する

これは間違っていて正しくありません。

積分する空間領域を正確に記述せずに体積積分は定義できません。
原点中心の半径a(>0)の球の体積Vを求める積分であれば
V=∫∫∫[D] dxdydz
ここで、積分領域Dは
D:{(x,y,z)|(x^2)+(y^2)+(z^2)≦(a^2)}
で与えられますが、
座標系をXYZ直交座標（デカルト座標）から三次元の極座標（単に球座標ともいう）に変換する場合の変換式は次のようになります。

(r,θ,φ)から(x,y,x)に変換する式：
x=r sinθcosφ
y=r sinθsinφ
z=r cosθ

(x,y,z)から(r,θ,φ)に変換する式：
r=√(x^2+y^2+z^2)
cosθ=z/√(x^2+y^2+z^2)
sinθ=√(x^2+y^2)/√(x^2+y^2+z^2)
tanφ=y/x

ここで3次元の空間を1:1に対応つける座標変数の取りうる範囲(変域)は
(x,y,z)の場合：-∞＜x＜∞,-∞＜y＜∞,-∞＜z＜∞
(r,θ,φ)の場合:0≦r＜∞,0≦θ≦π,0≦φ＜2π(または-π≦φ＜π)
です。

球内部の体積積分の場合の積分領域もXYZ直交座標空間上の領域Dから球座標上の領域D'に上記の変換式を使って（領域を過不足なく）1:1の関係を保って変数変換（写像）するには、積分領域を以下のように定めます。
D:{(x,y,z)|(x^2)+(y^2)+(z^2)≦(a^2)}
に対して
D':{(r,θ,φ)|0≦r≦a,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
または
D':{(r,θ,φ)|0≦r≦a,0≦θ≦π,-π≦φ≦π}
とします。
このように定めれば、
V=∫∫∫[D] dxdydz=∫∫∫[D'] |J|drdθdφ
と変換できます。
ここで、|J|はヤコビアンで体積素の変換係数になります。
|J|=∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)を計算すれば
|J|=(r^2)sinθ　が得られます。
つまり、体積素の変換式は
dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ
となります。

参考URL：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F

参考URL：

http://www14.plala.or.jp/phys/tools/7.html